Υπολογισμός inf

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $\mathbb{P}$ το σύνολο των μιγαδικών πολυωνύμων.
Εστω r> 0

Για $p\in \mathbb{P}$ θέτουμε $s(p)=sup\left \{ \left | p(z)-\frac{1}{z} \right |:\left | z \right |=r \right \}$

Να υπολογισθεί το $inf\left \{ s(p):p\in \mathbb{P} \right \}$

dement · #2

Ονομάζουμε

το ζητούμενο infimum.

Έστω

ο θετικά προσανατολισμένος κύκλος |z| = r

και

τυχαίο πολυώνυμο. Ισχύει $\displaystyle \oint_C \left( p(z) - \frac{1}{z} \right) \mathrm{d}z = - 2 \pi i \implies 2 \pi = \left| \oint_C \left( p(z) - \frac{1}{z} \right) \mathrm{d}z \right| = \left| \int_0^{2 \pi} \left( p(re^{i \theta}) - \frac{1}{re^{i\theta}} \right) i re^{i \theta} \mathrm{d}\theta \right| \leqslant$

$\displaystyle \leqslant r \int_0^{2 \pi} \left| p(re^{i \theta}) - \frac{1}{re^{i\theta}} \right| \mathrm{d}\theta \leqslant 2 \pi r s(p)$ . Έτσι, $\displaystyle s(p) \geqslant \frac{1}{r} \implies m \geqslant \frac{1}{r}$ .

Παίρνοντας $p(z) \equiv 0$ εύκολα βλέπουμε ότι $\displaystyle s(p) = \frac{1}{r}$ . Επομένως, $\displaystyle m = \frac{1}{r}$ .

Υπολογισμός inf

Υπολογισμός inf

Re: Υπολογισμός inf

Μέλη σε σύνδεση