IMC 1995/1/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8569
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1995/1/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Οκτ 28, 2016 8:54 pm

Ορίζουμε την συνάρτηση F:(1,\infty) \to \mathbb{R} ως

\displaystyle{ F(x) = \int_x^{x^2} \frac{\mathrm{d}t}{\ln{t}}}

Να δειχθεί ότι η F είναι 1-1 και να βρεθεί το πεδίο τιμών της.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4493
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: IMC 1995/1/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Οκτ 28, 2016 11:11 pm

Demetres έγραψε:Ορίζουμε την συνάρτηση F:(1,\infty) \to \mathbb{R} ως

\displaystyle{ F(x) = \int_x^{x^2} \frac{\mathrm{d}t}{\ln{t}}}

Να δειχθεί ότι η F είναι 1-1 και να βρεθεί το πεδίο τιμών της.
Γεια σου Δημήτρη,

η άσκηση αυτή ταιριάζει ταμάμ στο Λύκειο. Την έχουμε δει εξάλλου πολλές φορές στους σχετικούς φακέλους. Τέλος πάντων. Από το να ψάξω να τη βρω δίδω μία απάντηση.

Εφόσον βρισκόμαστε στο (1, +\infty) η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση είναι συνεχής και άρα η {\rm F} είναι παραγωγίσιμη. Για το τυχόν \alpha \in (1, +\infty) έχουμε ότι:
\displaystyle{\begin{aligned} 
{\rm F'} (x) &= \left ( \int_{x}^{x^2} \frac{{\rm d}t}{\ln t} \right )' \\  
 &= \left ( \int_{x}^{\alpha} \frac{{\rm d}t}{\ln t} + \int_{\alpha}^{x^2} \frac{{\rm d}t}{\ln t} \right )'\\  
 &= \left ( \int_{\alpha}^{x^2} \frac{{\rm d}t}{\ln t} - \int_{\alpha}^{x}  \frac{{\rm d}t}{\ln t}\right )'\\  
 &= \frac{2x}{\ln x^2} - \frac{1}{\ln x}\\  
 &\!\!\overset{x>1}{=\! =\!} \frac{x}{\ln x} - \frac{1}{\ln x} \\ 
 &= \frac{x-1}{\ln x} >0 
\end{aligned}} Άρα η {\rm F} είναι γνήσια αύξουσα και κατά συνέπεια 1-1. Ως γνήσια αύξουσα και συνεχής το σύνολο τιμών που ζητείται είναι ίσο με
\displaystyle{\mathcal{R}=f\left ( \left ( 1, +\infty \right ) \right )= \left ( \lim_{x\rightarrow 1+} f(x) , \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \right )} Ας υπολογίσουμε το πρώτο όριο το οποίο ως γνωστόν κάνει \ln 2. Βγαίνει με πολλούς τρόπους αλλά ο γρηγορότερος είναι ο εξής. Χρησιμοποιούμε τη διπλή ανισότητα \displaystyle{1- \frac{1}{x}< \ln x  < x- 1} για κάθε x >1. Οπότε:
\displaystyle{\frac{1}{t-1}< \frac{1}{\ln t}< \frac{t}{t-1}\Rightarrow  \int_{x}^{x^2}\frac{{\rm d}t}{t-1}< \int_{x}^{x^2}\frac{{\rm d}t}{\ln t}< \int_{x}^{x^2}\frac{t}{t-1}\, {\rm d}t} Παίρνοντας όρια βγάζουμε ότι πράγματι το ζητούμενο όριο είναι ίσο με \ln 2. Πάμε για το +\infty. Εδώ παρατηρούμε πως αφού η f είναι γνήσια αύξουσα θα ισχύει το εξής:
\displaystyle{{\rm F}(x)>  \frac{x^2-x}{\ln x^2} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow +\infty} {\rm F}(x) \geq \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^2-x}{2\ln x} \overset{\left (\frac{\infty}{\infty}  \right )}{=\! =\! =\!}\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x}{2} \left ( 2x-1 \right ) = +\infty} Άρα το ζητούμενο σύνολο τιμών είναι το \mathcal{R}=\left ( \ln 2 , +\infty \right ).


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6290
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: IMC 1995/1/4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Οκτ 28, 2016 11:17 pm

Είναι

\displaystyle{F'(x)=\frac{x-1}{\ln x}>0~~\forall x>1,} οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, άρα \displaystyle{1-1.}

Φανερά το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το

\displaystyle{(\lim_{x\to 1^+}F(x),\lim_{x\to +\infty}F(x))}.

Ολοκληρώνοντας στο διάστημα \displaystyle{[x,x^2]} την ανισότητα

\displaystyle{\frac{t}{t-1}>\frac{1}{\ln t}>\frac{1}{t-1}~~\forall t>1} βρίσκουμε

\displaystyle{x^2-x+\ln (x+1)>F(x)>\ln (x+1).}

Από εδώ είναι άμεσο ότι

\displaystyle{\lim_{x\to 1^+}F(x)=\ln 2,~~\lim_{x\to +\infty}F(x)=+\infty.}

Άρα \displaystyle{F((1,+\infty))=(\ln 2, +\infty).}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης