IMC 2016/2/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8569
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2016/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 28, 2016 11:16 pm

Έστω n θετικός ακέραιος και έστω ότι υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n (όπου \mathbb{Z}_n ο δακτύλιος των ακεραίων \bmod n) η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:

(α) f(x) \neq x
(β) f(f(x)) = x
(γ) f(f(f(x+1)+1)+1) = x

για κάθε x \in \mathbb{Z}_n. Να δειχθεί ότι n \equiv 2\bmod 4.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2016/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Ιούλ 29, 2016 5:19 pm

Από τα δύο πρώτα δεδομένα βλέπουμε ότι η f είναι μετάθεση, αποτελούμενη από ξένες μεταξύ τους εναλλαγές. Άρα ο n είναι άρτιος.

Έστω p(x) = x + 1. Το τρίτο δεδομένο μας λέει ότι f \circ p \circ f \circ p \circ f \circ p = 1, όπου 1 η ταυτοτική μετάθεση.

Αφού ο n είναι άρτιος, η p είναι περιττή μετάθεση. Οπότε, για να ικανοποιείται το τρίτο δεδομένο, πρέπει και η f να είναι περιττή, δηλαδή να αποτελείται από περιττό αριθμό εναλλαγών. Άρα n \equiv 2 \mod 4.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης