IMC 2016/2/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8346
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2016/2/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 28, 2016 11:12 pm

Σήμερα ο Ιβάν ο εξομολόγος προτιμά τις συνεχείς συναρτήσεις f:[0,1] \to \mathbb{R} οι οποίες ικανοποιούν την συνθήκη f(x) + f(y) \geqslant |x-y| για όλα τα ζεύγη x,y \in [0,1].

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει το \displaystyle{\int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x} αν η f είναι προτιμητέα συνάρτηση.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2016/2/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Παρ Ιούλ 29, 2016 2:47 am

Θέτουμε στην αρχική όπου \displaystyle y \rightarrow x+ \frac{1}{2} και παίρνουμε:

\displaystyle f(x)+f\left ( x+\frac{1}{2} \right )\geq \frac{1}{2} και ολοκληρώνοντας έχουμε:
\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( f(x)+f\left ( x+\frac{1}{2} \right ) \right )dx\geq  \frac{1}{4}
Όμως:
\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( f(x)+f\left ( x+\frac{1}{2} \right ) \right )dx = \int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx +\int_{0}^{\frac{1}{2}}f\left ( x+\frac{1}{2} \right )dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx +\int_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx\geq \frac{1}{4}

Αρκεί να αποδειχτεί ότι πιάνεται η τιμή αυτή ώστε αυτό να είναι το ζητούμενο ελάχιστο.
Πράγματι με λίγο ψάξιμο η συνάρτηση :

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\displaystyle  x-\frac{1}{2}, \;\;\;  \frac{1}{2}\leq x\leq 1 & \\  
\displaystyle  \frac{1}{2}-x, \;\;\; 0\leq x<\frac{1}{2} &  
\end{matrix}\right.

ικανοποιεί και τα δεδομένα και το ολοκλήρωμά της πιάνει αυτή την τιμή.

(*): αρχικά είχα κάνει αντικατάσταση με x+c ώσπου να εντοπίσω τη σταθερά που βολεύει. Μετά από λίγο κόπο αποδείχτηκε πως ήταν ένα αναμενόμενο νούμερο(αν κρίνουμε από παρόμοια θέματα) για το ζητούμενο διάστημα...


Στραγάλης Χρήστος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης