Σελίδα 1 από 1

IMC 2016/2/1

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 28, 2016 11:07 pm
από Demetres
Έστω ακολουθία θετικών πραγματικών x_1,x_2,\ldots η οποία ικανοποιεί την συνθήκη \displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{2n-1} = 1.}

Να δειχθεί ότι

\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}} \sum_{n=1}^k \frac{x_n}{k^2} \leqslant 2.}

Επεξεργασία: Διορθώθηκε η εκφώνηση. Δείτε την επόμενη ανάρτηση.

Re: IMC 2016/2/1

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 30, 2016 2:13 pm
από Demetres
Είναι ευκολάκι. Μάλλον δεν απαντήθηκε διότι αμέλησα να γράψω πως τα x_i είναι θετικά. Απολογούμαι για την όποια ταλαιπωρία. :oops:

Re: IMC 2016/2/1

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 01, 2016 4:16 pm
από dement
Παρατηρούμε ότι \displaystyle \int_{k-1/2}^{k+1/2} \frac{1}{t^2} dt  = \frac{1}{k^2 - 1/4} > \frac{1}{k^2} από όπου \displaystyle \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} < \int_{n-1/2}^{\infty} \frac{1}{t^2} dt  = \frac{2}{2n-1}.

Έτσι έχουμε

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^k \frac{x_n}{k^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} \right) x_n < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 x_n}{2n-1} = 2.