IMC 2016/2/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8286
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2016/2/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 28, 2016 11:07 pm

Έστω ακολουθία θετικών πραγματικών x_1,x_2,\ldots η οποία ικανοποιεί την συνθήκη \displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{2n-1} = 1.}

Να δειχθεί ότι

\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}} \sum_{n=1}^k \frac{x_n}{k^2} \leqslant 2.}

Επεξεργασία: Διορθώθηκε η εκφώνηση. Δείτε την επόμενη ανάρτηση.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8286
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2016/2/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιούλ 30, 2016 2:13 pm

Είναι ευκολάκι. Μάλλον δεν απαντήθηκε διότι αμέλησα να γράψω πως τα x_i είναι θετικά. Απολογούμαι για την όποια ταλαιπωρία. :oops:


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2016/2/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Αύγ 01, 2016 4:16 pm

Παρατηρούμε ότι \displaystyle \int_{k-1/2}^{k+1/2} \frac{1}{t^2} dt  = \frac{1}{k^2 - 1/4} > \frac{1}{k^2} από όπου \displaystyle \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} < \int_{n-1/2}^{\infty} \frac{1}{t^2} dt  = \frac{2}{2n-1}.

Έτσι έχουμε

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^k \frac{x_n}{k^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} \right) x_n < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 x_n}{2n-1} = 2.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης