IMC 2016/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8569
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2016/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 28, 2016 10:28 am

Έστω θετικοί ακέραιοι k,n. Μια ακολουθία A_1,\ldots,A_k από n\times n πραγματικούς πίνακες είναι προτιμητέα από τον Ιβάν τον εξομολόγο αν A_i^2 \neq 0 για 1\leqslant i \leqslant k αλλά A_iA_j=0 για 1 \leqslant i,j \leqslant k με i \neq j.

Να δειχθεί ότι k \leqslant n για όλες τις προτιμητέες ακολουθίες και να βρεθεί παράδειγμα προτιμητέας ακολουθίας για k=n για όλα τα n.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8569
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2016/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 28, 2016 11:49 pm

Για 1 \leqslant i \leqslant k θέτω V_i για τον διανυσματικό χώρο που γεννάται από τις στήλες των A_i,\ldots,A_n.

Θα δείξω επαγωγικά ότι \mathrm{dim}(V_i) \leqslant n-i+1. Εφόσον 1 \leqslant \dim(V_k) \leqslant n-k+1 το ζητούμενο έπεται.

Έστω λοιπόν ότι όντως \mathrm{dim}(V_i) \leqslant n-i+1. Επειδή A_i^2 \neq 0 υπάρχει στήλη v του A_i με A_iv \neq 0. Δεν μπορούμε να έχουμε v \in V_{i+1} αφού A_iw = 0 για κάθε w \in V_{i+1}. Άρα \dim(V_{i+1}) \leqslant \dim(V_i) -1 \leqslant n-i = n-(i+1)-1. Ο ισχυρισμός έχει αποδειχθεί.

Ως παράδειγμα προτιμητέας ακολουθίας μπορούμε να πάρουμε τους πίνακες A_1,\ldots,A_n όπου ο πίνακας A_i έχει παντού μηδενικά εκτός από την θέση στην i γραμμή και i στήλη όπου έχει άσσο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες