Σελίδα 1 από 1

IMC 2016/1/1

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 28, 2016 10:22 am
από Demetres
Έστω f:[a,b] \to \mathbb{R} συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b). Έστω ότι η f έχει άπειρες ρίζες αλλά δεν υπάρχει x στο (a,b) με f(x)=f'(x)=0.

(α) Να δειχθεί ότι f(a)f(b)=0.
(β) Να βρεθεί παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης στο [0,1].

Re: IMC 2016/1/1

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 28, 2016 10:35 am
από dement
Από Bolzano-Weierstrass στο συμπαγές [a,b] προκύπτει ότι υπάρχει σημείο συσσώρευσης x_0 των ριζών της f στο [a,b] και, λόγω συνέχειας, f(x_0) = 0. Αν x_0 \in (a,b) τότε f'(x_0) = 0, που είναι άτοπο. Άρα x_0 \in \{ a, b \}, οπότε f(a) f(b) = 0. Ένα παράδειγμα στο [0,1] είναι η f(x) = x \sin (1/x), f(0) = 0.