IMC 1994/2/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8565
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1994/2/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιούλ 08, 2016 12:04 pm

Έστω A ένας n \times n διαγώνιος πίνακας με χαρακτηριστικό πολυώνυμο

\displaystyle{ (x-c_1)^{d_1}(x-c_2)^{d_2} \cdots (x-c_k)^{d_k}}

με τα c_1,\ldots,c_k να είναι διακεκριμένα.

'Έστω V ο χώρος όλων των πινάκων B οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση AB = BA. Να δειχθεί ότι η διάσταση του B ισούται με

\displaystyle{ d_1^2 + \cdots + d_k^2}



Λέξεις Κλειδιά:
Γιάννης Ι.
Δημοσιεύσεις: 57
Εγγραφή: Δευ Δεκ 31, 2012 10:10 pm

Re: IMC 1994/2/4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Ι. » Παρ Ιούλ 15, 2016 6:22 pm

Να αναφέρουμε πως το αποτέλεσμα γενικεύεται εύκολα για έναν οποιονδήποτε διαγωνοποιήσιμο πίνακα.(Διαγωνοποιώντας τον A στην σχέση AB=BA απεικονίζουμε τον V σε έναν χώρο V' μέσω ενός αυτομορφισμού έτσι dim V= dim V').

Xωρίς βλάβη γενικότητας στα όσα ακολουθούν θα υποθέσω ότι οι πίνακες έχουν συντελεστές μέσα στο \mathbb{R}.Επιστρέφοντας στο αρχικό πρόβλημα, έχουμε ότι AB=BA αν και μόνο αν ο B αφήνει αναλλοίωτους τους ιδιοχώρους του A. Όντως, αν το x είναι ένα τυχαίο ιδιοδιάνυσμα του A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή c:
AB=BA\Rightarrow A(Bx)=c\cdot Bx\Rightarrow (Bx)\in Ker(A-cI)
Aντιστρόφως, εφόσον ο A είναι διαγώνιος υπάρχει μια βάση (e_{1}, ...,~ e_{n}) του \mathbb{R}^n που αποτελείται από ιδιοδιανύσματά του. Aν οι αντίστοιχες ιδιοτιμές τους είναι (c_{1}, ...,~ c_{n}) και καθένα από αυτά απεικονίζεται από τον B σε ιδιοδιάνυσμα του A με την ίδια ιδιοτιμή, τότε για τυχαίο x=\sum _{ l=1 }^{ k }{ m_{ l }e_{ l } }, με m_{1},..., m_{n} \in \mathbb{R} έχουμε:
\displaystyle{BAx=BA(\sum _{ l=1 }^{ n }{ m_{ l }e_{ l }) } =B(\sum _{ l=1 }^{ n }{ m_{ l }c_{ l }e_{ l }) } =\sum _{ l=1 }^{ n }{ m_{ l }c_{ l }(Be_{ l }) }=\sum _{ l=1 }^{ n }{ m_{ l }A(Be_{ l }) }=ABx}.

Από τα παραπάνω, μπορούμε να κατασκευάσουμε τους πίνακες του χώρου V συμπληρώνοντας τα στοιχεία των οποίων οι θέσεις αντιστοιχούν στους ιδιοχώρους του A (τα υπόλοιπα είναι μηδενικά). Έτσι, έχουμε την διάσταση του V που είναι ίση με το πλήθος των "ελεύθερων" στοιχείων, που είναι { d }_{ 1 }^{ 2 }+...+{ d }_{ k }^{ 2 } (ένα σχήμα εδώ θα βοηθούσε αλλά δεν κατάφερα να το κάνω).


Υπόδειξη: Έστω \epsilon > 0...

Allain Pommellet
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης