Euler Competition 2016/1

#1

Να εξεταστεί αν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $a_1 > a_2 > \cdots > a_{2016}$ ώστε οι

$\displaystyle{ \frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\ldots,\frac{1}{a_{2016}}}$

να βρίσκονται σε αριθμητική πρόοδο.

nikkru · #2

Demetres έγραψε:Να εξεταστεί αν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $a_1 > a_2 > \cdots > a_{2016}$ ώστε οι

$\displaystyle{ \frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\ldots,\frac{1}{a_{2016}}}$

να βρίσκονται σε αριθμητική πρόοδο.

Υπάρχουν, και μάλιστα αυτό ισχύει για οποιονδήποτε πλήθος θετικών ακεραίων

παίρνοντας ως a_1

το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο όλων των ακεραίων από το

έως το

και ορίζοντας ως διαφορά της αριθμητικής προόδου το $\frac{1}{a_1}$ .
Οι υπόλοιποι θετικοί ακέραιοι ορίζονται ως εξής:
ο ακέραιος $a_{k+1}$ (με 0<k<n

) είναι ο παρονομαστής του ανάγωγου κλάσματος που προκύπτει αν προσθέσουμε στο $\frac{1}{a_k}$ το $\frac{1}{a_1}$ ( δηλαδή την διαφορά της αριθμητικής προόδου).
Το ανάγωγο κλάσμα που προκύπτει έχει αριθμητή το

γιατί ο παρονομαστής είναι πολλαπλάσιο του k+1

(ο παρονομαστής είναι πολλαπλάσιο όλων των ακεραίων από το

έως το

αφού είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους).

#3

Το είχαμε ουσιαστικά δει και εδώ. (Το πρόβλημα 5.) Ίσως και αλλού.

Euler Competition 2016/1

Euler Competition 2016/1

Re: Euler Competition 2016/1

Re: Euler Competition 2016/1

Μέλη σε σύνδεση