Vojtech Jarnik 2012/1 Category II

#1

Έστω (όχι απαραίτητα αυστηρά) φθίνουσα συνάρτηση $f:[1,\infty) \to (0,\infty)$ ώστε

$\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty} \frac{f(2^{n+1})}{f(2^n)} < \frac{1}{2}.}$

Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \int_1^{\infty} f(x) \, \mathrm{d}x < \infty}$

Zarifis · #2

Εστω

. Απο cauchy η $\sum a_n \sim \sum 2^na_{2^n}$ . (αφου ειναι φθίνουσα)
Απο ratio test : lim $b_{n+1}/b_n \leq \limsup b_{n+1}/{b_n} = 2 *\limsup f(2^n{+1})/f(2^n) < 1$ αρα η σειρά a_n

συγκινεί.
Κι απο κριτήριο ολοκληρωματος επεται το αποτέλεσμα.

#3

Ωραία! Διόρθωσε όμως λίγο και τα ορθογραφικά!

Να προσθέσω ότι η ακολουθία b_n

στην πιο πάνω λύση είναι η ακολουθία b_n = 2^n a_n = 2^n f(n)

.

Vojtech Jarnik 2012/1 Category II

Vojtech Jarnik 2012/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2012/1 Category II

Re: Vojtech Jarnik 2012/1 Category II

Μέλη σε σύνδεση