Σειρά που αποκλίνει

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Σειρά που αποκλίνει

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Τετ Μαρ 09, 2016 2:54 am

Από κάπου έχω πάρει το παρακάτω πρόβλημα αλλά δεν θυμάμαι από που. Ίσως το έχουμε ξαναδεί ή είναι από διαγωνισμό.

Έστω φθίνουσα ακολουθία a_n>0 με \displaystyle{\lim_{n \to +\infty} a_n=0}. Να δειχθεί ότι η σειρά \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n-a_{n+1}}{a_n}} αποκλίνει.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7996
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σειρά που αποκλίνει

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μαρ 09, 2016 11:10 pm

Λήμμα: Αν x_1,\ldots,x_n \in (0,1) τότε \displaystyle{\sum_{i=1}^n (1-x_i) \geqslant 1 - \prod_{i=1}^n x_i}

Απόδειξη: Προχωράμε με επαγωγή στο n. Για n=1 είναι άμεσο. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για n=k. Δηλαδή \displaystyle{ \sum_{i=1}^k (1-x_i) \geqslant 1 - \prod_{i=1}^k x_i}. Τότε

\displaystyle{ \begin{aligned}\sum_{i=1}^{k+1} (1-x_i)  &= \left( \sum_{i=1}^{k} (1-x_i)\right) + (1-x_{k+1}) \\  
&\geqslant \left(1 - \prod_{i=1}^k x_i\right) + (1-x_{k+1}) \\ 
&= 1 - \prod_{i=1}^{k+1} x_i + \left(1 - \prod_{i=1}^k x_i\right)\left(1-x_{k+1}\right) \\ 
&\geqslant  1 - \prod_{i=1}^{k+1} x_i\right 
\end{aligned}}
Δηλαδή ισχύει και για n=k+1. Άρα το λήμμα αποδείχθηκε.

Αφού με a_n> 0 για κάθε n με a_n \to 0 μπορώ να βρω 1 = i_1 < i_2 < \cdots ώστε \displaystyle{ \frac{a_{i_{r+1}}}{a_{i_r}} < \frac{1}{2}} για κάθε r.

Τότε όμως έχω

\displaystyle{ \sum_{n=1}^{i_k-1} \frac{a_n - a_{n+1}}{a_n} = \sum_{r=1}^{k-1} \sum_{n=i_r}^{i_{r+1}-1}\left(1 - \frac{a_{n+1}}{a_n} \right) \geqslant  \sum_{r=1}^{k-1} \left(1 - \frac{a_{i_{r+1}}}{a_{i_r}} \right) >  \sum_{r=1}^{k-1} \frac{1}{2} > \frac{k-1}{2}}

όπου στην πρώτη ανισότητα χρησιμοποίησα το λήμμα.

Άρα η σειρά όντως αποκλίνει.


Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Σειρά που αποκλίνει

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Πέμ Μαρ 10, 2016 12:40 am

Δημήτρη ωραία λύση. Η δική μου είναι διαφορετική:

Θέτουμε \displaystyle{b_n=1-\frac{a_{n+1}}{a_n}} οπότε 0<b_n<1 και \displaystyle{a_{n+1}=a_1(1-b_1)\cdot ...\cdot (1-b_n) \to 0}. Συνεπώς η σειρά θετικών όρων \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \frac{1}{1-b_n}} αποκλίνει. Θέλουμε να δείξουμε ότι η \displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} b_n} αποκλίνει. Βασικά η μία αποκλίνει αν και μόνο αν η άλλη αποκλίνει.

Η μια κατεύθυνση είναι άμεση από την ανισότητα \displaystyle{ x \leq \ln \frac{1}{1-x}} για 0 <x <1 που ισχύει διότι \displaystyle{x \leq \ln \frac{1}{1-x} \Leftrightarrow -x \geq \ln (1-x) \Leftrightarrow e^{-x} \geq 1-x } και η τελευταία είναι γνωστή.

Η άλλη κατεύθυνση έπεται από την ανισότητα \displaystyle{\ln \frac{1}{1-x} \leq (2\ln 2) \cdot x} για 0 <x <\frac{1}{2}. Αυτή ισχύει διότι η f(x)=\ln \frac{1}{1-x} έχει f'(x)=\frac{1}{1-x}, f''(x)=\frac{1}{(1-x)^2} οπότε είναι κυρτή και άρα βρίσκεται κάτω από το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα (0,f(0)) και (1/2, f(1/2)).

Σημείωση: Για τη δεύτερη κατεύθυνση δεν γνωρίζουμε ότι b_n<\frac{1}{2} για κάθε n. Αλλά αυτό μπορούμε να το υποθέσουμε διότι αν b_n \nrightarrow 0 τότε η σειρά αποκλίνει αυτόματα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2096
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σειρά που αποκλίνει

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μαρ 10, 2016 9:13 am

Ωραιότατες και οι δυο λύσεις και διαφορετικές από την λύση
που υπάρχει στο
Problems in Mathematical Analysis v1
W.J.Kaczor M.T.Nowak
Είναι η άσκηση 3.2.43 σελ 80 .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης