Κλειστός τύπος για άθροισμα δυωνυμικών (14)

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Κλειστός τύπος για άθροισμα δυωνυμικών (14)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Οκτ 09, 2015 11:30 pm

Ας δειχθεί ότι \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}2^kH_k=2H_n-H_{[n/2]}}, όπου H_n ο n-οστός αρμονικός αριθμός και [\,\cdot\,] το ακέραιο μέρος.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Zarifis
Δημοσιεύσεις: 107
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 15, 2011 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια

Re: Κλειστός τύπος για άθροισμα δυωνυμικών (14)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Zarifis » Κυρ Οκτ 11, 2015 2:09 pm

Έχουμε ότι H_n = \int_{0}^{1} {\frac{1-x^n}{1-x}}
Όποτε αντικαθηστώντας στο LHS κι ενσταλάζοντας άθρηση κι ολοκλήρωμα (πεπερασμένα \rightarrow fubini) έχουμε:
(-1)^n \int_{0}^{1}  {\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{-k}\binom{n}{k}2^k(1-x^k) }{1-x}} = (-1)^n \int_{0}^{1} {\frac{(-1)^n -(1-2x)^n }{1-x}} =  \int_{0}^{1}  {\frac{1-(2x-1)^n }{1-x}}
Θέτοντας u=2x-1 έχουμε: \int_{-1}^{1}  {\frac{1-(u)^n }{1-u}}   = H_n +\int_{-1}^{0} {\frac{1-(u)^n }{1-u}}
Τέλος: \int_{-1}^{0} {\frac{1-(u)^n }{1-u}}   = \int_{-1}^{0} {\frac{(1-u)(1+u+u^2 + \dots +u^{n-1}) }{1-u}}  =\int_{-1}^{0} {(1+u+u^2 + \dots +u^{n-1})}  = (-1 + \frac{1}{2} + \dots (-1)^n \frac{1}{n}
Το όποιο είναι ίσο με H_n - H_{[\,\ n/2 \,]} φτάνει να δούμε τι γίνετε με το H_n - H_{[\,\ n/2 \,]} /2 (μηδενίζονται οι μονοί )


Τι νόημα έχει το όνειρο χωρίς μικρές νοθείες...
Νίκος Ζαρίφης-ΗΜΜΥ
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Κλειστός τύπος για άθροισμα δυωνυμικών (14)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Κυρ Οκτ 11, 2015 3:11 pm

Είναι το 3886 του Crux.

Άλλη μια λύση εδώ με διαφορές.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης