IMC 2014/1/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

IMC 2014/1/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Πέμ Ιούλ 31, 2014 6:31 pm

Έστω η ακολουθία \displaystyle{(a_n)_{n=1}^{+\infty}=(1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,\ldots)}.

Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών πραγματικών (\alpha,\beta) ώστε \displaystyle{\lim_{n\to+\infty}n^{-\alpha}\sum_{k=1}^{n}a_k=\beta}.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Άβαταρ μέλους
Zarifis
Δημοσιεύσεις: 107
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 15, 2011 12:44 am
Τοποθεσία: Νίκαια

Re: IMC 2014/1/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Zarifis » Πέμ Ιούλ 31, 2014 10:57 pm

Μια σύντομη λύση για το α.
Έχουμε ως δεδομένο ότι πρέπει να συγκλίνει οπότε ας πάρουμε μια υπακολουθία, ώστε να μπορούμε κάθε φορά να αθροίσουμε διαδοχικούς όρους. Άρα παίρνουμε ως υπακολουθεία ανα \displaystyle{k(k + 1)/2} όρους.

Άρα έχουμε : \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } O({n^{ - 2a}})\sum\limits_{k = 0}^n {k(k + 1)}  = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } O({n^{ - 2a}})O({n^3}) \Rightarrow \alpha  = 3/2}
Για να βρούμε το β απλά υπολογίζουμε τους όρους χρησιμοποιώντας της ταυτότητες:
\displaystyle{\sum\limits_\iota  \iota   = n(n + 1)/2} και \displaystyle{\sum\limits_\iota  {{\iota ^2} = n(n + 1)(2n + 1)/6} }.


Τι νόημα έχει το όνειρο χωρίς μικρές νοθείες...
Νίκος Ζαρίφης-ΗΜΜΥ
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: IMC 2014/1/2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Πέμ Ιούλ 31, 2014 11:04 pm

Σωστό αλλά πρέπει να δείξεις ότι όντως συγκλίνει μετά. Αλλά και αυτό εύκολο είναι. Πολύ υπολογιστικά τα 2 πρώτα και το 3 πολύ εύκολο για 3. Μάλλον ήθελαν να γλιτώσουν την περσινή κατρακύλα στα μετάλλια, αλλά πήγαν στο άλλο άκρο. Ελπίζω σε καλύτερα θέματα αύριο.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες