Euler 2014-5
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Euler 2014-5
Έστω θετικοί ακέραιοι και υποσύνολα του ώστε
(α) ,
(β) για κάθε ,
(γ) για κάθε δύο με η δυάδα ανήκει είτε σε ακριβώς δύο είτε σε κανένα και
(δ) κάθε ανήκει σε ακριβώς από τα .
Να βρεθούν όλες οι πιθανές τιμές του .
[Όπου με συμβολίζω το σύνολο .]
(α) ,
(β) για κάθε ,
(γ) για κάθε δύο με η δυάδα ανήκει είτε σε ακριβώς δύο είτε σε κανένα και
(δ) κάθε ανήκει σε ακριβώς από τα .
Να βρεθούν όλες οι πιθανές τιμές του .
[Όπου με συμβολίζω το σύνολο .]
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Euler 2014-5
Θεωρώ πίνακα με 3 γραμμές και k στήλες.
Στην πρώτη στήλη τοποθετώ τα στοιχεία του ,στη δεύτερη του κ.ό.κ.
Σύμφωνα με το δεδομένο (δ) τα στοιχεία του πίνακα είναι .
Αρα .
Κάθε στήλη περιέχει 3 δυάδες στοιχείων άρα όλος ο πίνακας δυάδες.
Σύμφωνα με το δεδομένο (γ),οι δυάδες του πίνακα είναι άρτιος αριθμός.
Αρα .
Σύμφωνα με τα παραπάνω το n είναι της μορφής .
Θα αποδείξω ότι για κάθε ικανοποιείται ο ισχυρισμός του προβλήματος.
Για Τα υποσύνολα ικανοποιούν τον ισχυρισμό του προβλήματος.
Για ,τοποθετούμε τα πρώτα 6 στοιχεία του [n] στις 10 πρώτες στήλες του πίνακα όπως παραπάνω,τα επόμενα 6 στις επόμενες 10 στήλες με τον ίδιο τρόπο κ.ο.κ.
Τελικά .
Στην πρώτη στήλη τοποθετώ τα στοιχεία του ,στη δεύτερη του κ.ό.κ.
Σύμφωνα με το δεδομένο (δ) τα στοιχεία του πίνακα είναι .
Αρα .
Κάθε στήλη περιέχει 3 δυάδες στοιχείων άρα όλος ο πίνακας δυάδες.
Σύμφωνα με το δεδομένο (γ),οι δυάδες του πίνακα είναι άρτιος αριθμός.
Αρα .
Σύμφωνα με τα παραπάνω το n είναι της μορφής .
Θα αποδείξω ότι για κάθε ικανοποιείται ο ισχυρισμός του προβλήματος.
Για Τα υποσύνολα ικανοποιούν τον ισχυρισμό του προβλήματος.
Για ,τοποθετούμε τα πρώτα 6 στοιχεία του [n] στις 10 πρώτες στήλες του πίνακα όπως παραπάνω,τα επόμενα 6 στις επόμενες 10 στήλες με τον ίδιο τρόπο κ.ο.κ.
Τελικά .
Κώστας
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Euler 2014-5
Πολύ ωραία Κώστα. Ακριβώς έτσι την έλυσα και εγώ. Οπότε τέτοια άσκηση θα μπορούσε άνετα να τεθεί και σε μαθητικό διαγωνισμό. Βάζω όμως και την επίσημη λύση η οποία χρησιμοποιεί πιο ισχυρά υλικά.
Για κάθε θεωρούμε ένα «αφηρημένο» τρίγωνο . Αν δυο τρίγωνα έχουν κοινή πλευρά τότε τα κολλάμε μεταξύ τους. Οι συνθήκες (α)-(γ) μας λένε πως έχουμε μια τριγωνοποίηση με κορυφές μιας κλειστής επιφάνειας . Η επιφάνεια έχει κορυφές και έδρες. Επίσης αφού κάθε ακμή ανήκει σε ακριβώς δύο έδρες και κάθε έδρα έχει ακριβώς ακμές παίρνουμε ότι . Τέλος με τον ίδιο τρόπο από την συνθήκη (δ) παίρνουμε .
Οπότε η επιφάνεια έχει χαρακτηριστική Euler και άρα .
Για την κατασκευή για ψάχνουμε για μια τριγωνοποίηση (με έξι κορυφές) μιας επιφάνειας με χαρακτηριστική . Οπότε ψάχνουμε για τριγωνοποίηση του πραγματικού προβολικού επιπέδου (real projective plane).
Παίρνουμε λοιπόν ένα εικοσάεδρο με δώδεκα κορυφές και δέκα έδρες και ταυτίζουμε τις αντίδιαμετρικές κορυφές. Οπότε όντως παίρνουμε τριγωνοποίηση του προβολικού επιπέδου με έξι κορυφές και όπου κάθε κορυφή ανήκει σε πέντε τρίγωνα.
Ασφαλώς για την κατασκευή για απλά ξένες μεταξύ τους τριγωνοποιήσεις όπως πιο πάνω.
Για κάθε θεωρούμε ένα «αφηρημένο» τρίγωνο . Αν δυο τρίγωνα έχουν κοινή πλευρά τότε τα κολλάμε μεταξύ τους. Οι συνθήκες (α)-(γ) μας λένε πως έχουμε μια τριγωνοποίηση με κορυφές μιας κλειστής επιφάνειας . Η επιφάνεια έχει κορυφές και έδρες. Επίσης αφού κάθε ακμή ανήκει σε ακριβώς δύο έδρες και κάθε έδρα έχει ακριβώς ακμές παίρνουμε ότι . Τέλος με τον ίδιο τρόπο από την συνθήκη (δ) παίρνουμε .
Οπότε η επιφάνεια έχει χαρακτηριστική Euler και άρα .
Για την κατασκευή για ψάχνουμε για μια τριγωνοποίηση (με έξι κορυφές) μιας επιφάνειας με χαρακτηριστική . Οπότε ψάχνουμε για τριγωνοποίηση του πραγματικού προβολικού επιπέδου (real projective plane).
Παίρνουμε λοιπόν ένα εικοσάεδρο με δώδεκα κορυφές και δέκα έδρες και ταυτίζουμε τις αντίδιαμετρικές κορυφές. Οπότε όντως παίρνουμε τριγωνοποίηση του προβολικού επιπέδου με έξι κορυφές και όπου κάθε κορυφή ανήκει σε πέντε τρίγωνα.
Ασφαλώς για την κατασκευή για απλά ξένες μεταξύ τους τριγωνοποιήσεις όπως πιο πάνω.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες