Euler 2014-4
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Euler 2014-4
Σε ένα πάρτι έλαβαν μέρος αγόρια και κορίτσια. Κάθε αγόρι χόρεψε με ακριβώς κορίτσια και κάθε δύο αγόρια χόρεψαν με ακριβώς κοινά κορίτσια.
Να δειχθεί ότι κάθε κορίτσι χόρεψε με ακριβώς αγόρια και κάθε δύο κορίτσια χόρεψαν με ακριβώς κοινά αγόρια.
Να δειχθεί ότι κάθε κορίτσι χόρεψε με ακριβώς αγόρια και κάθε δύο κορίτσια χόρεψαν με ακριβώς κοινά αγόρια.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Euler 2014-4
Ας κάνω μια προσπάθεια...
Δημιουργούμε το προφανές γράφημα και έστω ο πίνακας γειτνίασής του. Τότε, θεωρώντας ως πρώτες κορυφές τα αγόρια, ο είναι της μορφής για κάποιον πίνακα .
Έτσι .
Ως γνωστόν το στοιχείo του είναι το πλήθος των κοινών γειτόνων των κορυφών . Συνεπώς, από τις συνθήκες του προβλήματος έχω ,
όπου ο πίνακας που έχει όλα του τα στοιχεία ίσα με . Θέλω να δείξω ότι .
Επειδή κάθε αγόρι χόρεψε με ακριβώς κορίτσια, ισχύει και άρα . Επιπλέον .
Αφού , θα πρέπει να ισχύει
Το δεξί μέλος της τελευταίας σχέσης είναι αντισυμμετρικός πίνακας ενώ το αριστερό συμμετρικός. Άρα πρέπει τα δύο μέλη να ισούνται με το μηδενικό πίνακα.
Δημιουργούμε το προφανές γράφημα και έστω ο πίνακας γειτνίασής του. Τότε, θεωρώντας ως πρώτες κορυφές τα αγόρια, ο είναι της μορφής για κάποιον πίνακα .
Έτσι .
Ως γνωστόν το στοιχείo του είναι το πλήθος των κοινών γειτόνων των κορυφών . Συνεπώς, από τις συνθήκες του προβλήματος έχω ,
όπου ο πίνακας που έχει όλα του τα στοιχεία ίσα με . Θέλω να δείξω ότι .
Επειδή κάθε αγόρι χόρεψε με ακριβώς κορίτσια, ισχύει και άρα . Επιπλέον .
Αφού , θα πρέπει να ισχύει
Το δεξί μέλος της τελευταίας σχέσης είναι αντισυμμετρικός πίνακας ενώ το αριστερό συμμετρικός. Άρα πρέπει τα δύο μέλη να ισούνται με το μηδενικό πίνακα.
Μιχάλης Σαράντης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες