Euler 2014-2
Συντονιστής: Demetres
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Euler 2014-2
Να βρεθούν όλοι οι μιγαδικοί για τους οποίους υπάρχει πραγματικό πολυώνυμο ώστε να ισχύουν τα ακόλουθα:
(α) Όλοι οι συντελεστές του είναι μη αρνητικοί, και
(β) το είναι ρίζα του .
[Επεξεργασία: Βελτίωση εκφώνησης.]
(α) Όλοι οι συντελεστές του είναι μη αρνητικοί, και
(β) το είναι ρίζα του .
[Επεξεργασία: Βελτίωση εκφώνησης.]
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Euler 2014-2
Αν θετικός πραγματικός, τότε προφανώς δεν υπάρχει τέτοιο πολυώνυμο. Θα δείξουμε ότι σε όλες τις άλλες περιπτώσεις υπάρχει.
Για παίρνουμε . Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι με . Για θετικό ακέραιο , ορίζουμε πραγματικά πολυώνυμα
και
όπου τα ορίζονται με τις πιο κάτω αναδρομικές σχέσεις:
Παρατηρούμε ότι το είναι ρίζα του . Επαγωγικά είναι ρίζα του για κάθε , αφού .
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι υπάρχει φυσικός ώστε . Ορίζω Αρκεί να δείξω ότι για κάποιον αφού τότε θα είναι .
Η ακολουθία ικανοποιεί τον αναδρομικό τύπο
Ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι για κάθε . Έχουμε επίσης την αρχική συνθήκη Τότε όμως είναι
Επαγωγικά (χρησιμοποιώντας και την προς άτοπο υπόθεση) λαμβάνουμε ότι η ακολουθία είναι αύξουσα και άνω φραγμένη από το . Άρα τείνει σε κάποιο όριο . Παίρνοντας όρια στην αναδρομική σχέση λαμβάνουμε
Τότε , οπότε ή . Και τα δύο όμως απορρίπτονται. Οπότε όντως για κάποιο .
Για παίρνουμε . Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι με . Για θετικό ακέραιο , ορίζουμε πραγματικά πολυώνυμα
και
όπου τα ορίζονται με τις πιο κάτω αναδρομικές σχέσεις:
Παρατηρούμε ότι το είναι ρίζα του . Επαγωγικά είναι ρίζα του για κάθε , αφού .
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι υπάρχει φυσικός ώστε . Ορίζω Αρκεί να δείξω ότι για κάποιον αφού τότε θα είναι .
Η ακολουθία ικανοποιεί τον αναδρομικό τύπο
Ας υποθέσουμε προς άτοπο ότι για κάθε . Έχουμε επίσης την αρχική συνθήκη Τότε όμως είναι
Επαγωγικά (χρησιμοποιώντας και την προς άτοπο υπόθεση) λαμβάνουμε ότι η ακολουθία είναι αύξουσα και άνω φραγμένη από το . Άρα τείνει σε κάποιο όριο . Παίρνοντας όρια στην αναδρομική σχέση λαμβάνουμε
Τότε , οπότε ή . Και τα δύο όμως απορρίπτονται. Οπότε όντως για κάποιο .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης