Σελίδα 1 από 1
IMC 2013/1/1
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 08, 2013 4:13 pm
από Eukleidis
Έστω
και
πραγματικοί και συμμετρικοί πίνακες με όλες τις ιδιοτιμές τους αυστηρά μεγαλύτερες από
. Έστω
μια πραγματική ιδιοτιμή του πίνακα
. Να αποδείξετε ότι
.
Re: IMC 2013/1/1
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 08, 2013 8:05 pm
από Demetres
Έστω
ορθοκανονική βάση ιδιοδιανυσμάτων του
με ιδιοτιμές
. Αν
τότε
και άρα
.
Αποδείξαμε λοιπόν ότι για κάθε
ισχύει ότι
. Αυτό βέβαια ισχύει και για τον πίνακα
και άρα
.
Έστω τώρα
με
όπου
. Τότε
είναι ιδιοδιάνυσμα με όλες του τις τιμές πραγματικές. Επομένως
και άρα
.