IMC 2013/1/1

Συντονιστής: Demetres

Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 669
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

IMC 2013/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Πέμ Αύγ 08, 2013 4:13 pm

Έστω \displaystyle{A} και \displaystyle{B} πραγματικοί και συμμετρικοί πίνακες με όλες τις ιδιοτιμές τους αυστηρά μεγαλύτερες από \displaystyle{1}. Έστω \displaystyle{\lambda } μια πραγματική ιδιοτιμή του πίνακα \displaystyle{{\rm A}{\rm B}}. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\left| \lambda  \right| > 1}.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8587
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 2013/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Αύγ 08, 2013 8:05 pm

Έστω v_1,\ldots,v_n ορθοκανονική βάση ιδιοδιανυσμάτων του A με ιδιοτιμές \lambda_1,\ldots,\lambda n. Αν v = \sum \alpha_i v_i τότε Av = \sum \alpha_i \lambda v_i και άρα \|Av\|^2 = \sum \alpha_i^2 \lambda_i^2 > \sum \alpha_i^2 = \|v\|^2.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι για κάθε v ισχύει ότι \|Av\| > \|v\|. Αυτό βέβαια ισχύει και για τον πίνακα B και άρα \|ABv\| > \|Bv\| > \|v\|.

Έστω τώρα w \neq 0 με ABw = \lambda w όπου \lambda \in \mathbb{R}. Τότε v = w + \overline{w} είναι ιδιοδιάνυσμα με όλες του τις τιμές πραγματικές. Επομένως \|\lambda v\| = \|ABv\| > \|v\| και άρα |\lambda| > 1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης