IMC 2002/2/3
Συντονιστής: Demetres
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: IMC 2002/2/3
Ισχυρισμός: Για κάθε θετικό ακέραιο , υπάρχουν τέτοιοι, ώστε και
Το ζητούμενο συμπέρασμα έπεται άμεσα από τον παραπάνω Ισχυρισμό.
Θα δείξουμε τον Ισχυρισμό επαγωγικά.
Για , είναι:
και
Έστω ότι ο Ισχυρισμός αληθεύει για κάθε . Έχουμε ότι:
όπου .
Όμοια, είναι:
όπου .
Από την Αρχή της Επαγωγής, ο Ισχυρισμός έπεται και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Το ζητούμενο συμπέρασμα έπεται άμεσα από τον παραπάνω Ισχυρισμό.
Θα δείξουμε τον Ισχυρισμό επαγωγικά.
Για , είναι:
και
Έστω ότι ο Ισχυρισμός αληθεύει για κάθε . Έχουμε ότι:
όπου .
Όμοια, είναι:
όπου .
Από την Αρχή της Επαγωγής, ο Ισχυρισμός έπεται και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: IMC 2002/2/3
Συγγνώμη που αναβιώνω ένα παλιό θέμα αλλά νομίζω βρήκα κάτι σύντομο.
Θεωρώ την .
Εύκολα με επαγωγή στο βλέπει κανείς ότι
για ένα πολυώνυμο μεταβλητών με ακέραιους συντελεστές. Όμως,
(Η παραγώγιση γίνεται όρο προς όρο λόγω της ομοιόμορφης σύγκλισης κάθε σειράς που προκύπτει)
Θέτοντας έχω ότι .
Ομοίως (με την ).
Θεωρώ την .
Εύκολα με επαγωγή στο βλέπει κανείς ότι
για ένα πολυώνυμο μεταβλητών με ακέραιους συντελεστές. Όμως,
(Η παραγώγιση γίνεται όρο προς όρο λόγω της ομοιόμορφης σύγκλισης κάθε σειράς που προκύπτει)
Θέτοντας έχω ότι .
Ομοίως (με την ).
Μιχάλης Σαράντης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: IMC 2002/2/3
Και πάλι αλλιώς:Mikesar έγραψε:Συγγνώμη που αναβιώνω ένα παλιό θέμα...
Θέτουμε οπότε
O συντελεστής του είναι . Όμως από τον τύπο του Taylor ο συντελεστής του είναι . Επίσης εύκολα βλέπουμε επαγωγικά ότι όπου πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές.
Βάζοντας καταλήγουμε στο
Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο αλλά αρχίζοντας από την καταλήγουμε ότι .
Πολλαπλασιάζοντας τις δύο, έχουμε το ζητούμενο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες