2 προβλήματα

Κώστας Παππέλης · #1

Θα ήθελα τη βοήθειά σας σε 2 προβλήματα που έχω ποστάρει εδώ:

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=303100

Ευχαριστώ.

Nick1990 · #2

Το πρωτο ειναι απο το φετινο διαγωνισμο επιλογης για την ομαδα του ΕΜΠ για IMC. Λυνεται με χρηση των χαρακτηριστικων διανυσματων. Δες εδω: http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=279683

#3

Nick1990 έγραψε:Το πρωτο ειναι απο το φετινο διαγωνισμο επιλογης για την ομαδα του ΕΜΠ για IMC. Λυνεται με χρηση των χαρακτηριστικων διανυσματων. Δες εδω: http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=279683

Νίκο, χαιρετίσματα.

Δεν κοίταξα την άσκηση, αλλά μου κραυγάζει επαγωγή: Για το επαγωγικό βήμα, στην περίπτωση συνόλου με Ν+1 στοιχεία, βρες δύο σύνολα με μη κενή τομή (υπάρχουν, αφού το σύνολο αναφοράς έχει Ν+1 στοιχεία και εμείς εξετάζουμε Ν+2 υποσύνολα).
Αν {χ} κοινό στοιχείο στα δύο, πέτα το ένα σύνολο (πες το Α) και πέτα το χ από παντού. Τώρα έχουμε σύνολο αναφοράς με Ν στοιχεία. Σε αυτό θα εφαρμόσουμε την επαγωγική υπόθεση λαμβάνοντας τις συμμετρικές διαφορές ΧΔΑ των δοθέντων συνόλων Χ με το Α.

Ώρα για ύπνο. Μου φαίνεται πάντως ότι η παραπάνω διαδικασία οδηγεί σε λύση. Είδομεν.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Κώστας Παππέλης · #4

Την πρώτη κατάφερα να τη λύσω. Ευχαριστώ πάντως Nick. Δεν την έκανα με επαγωγή αλλά δεν αποκλείεται καθόλου να βγαίνει και έτσι κύριε Λάμπρου.

Θα αναρτήσω λύση στο mathlinks.

#5

Καλή μέρα και καλή βδομάδα

Η διατύπωση του δευτέρου προβλήματος είναι

Να αποδειχθεί ότι κάθε γραμμική απεικονιση (τελεστής) από το στο μπορεί να γραφτεί ως το ευθύ άθροισμα ενός αντιστρέψιμου και ενός μηδενοδύναμου τελεστή.

(όπου απέδωσα στα Ελληνικά τους αγγλικούς όρους δεδομένου ότι υπάρχει μετάφραση)

Ισχύει το εξής γενικότερο θεώρημα (Hofman, Kunze_Linear Algebra, σελίδα 222, θεώρημα 13):

Κάθε τελεστής μπορεί να γραφεί ως ευθύ άθροισμα ενός διαγωνιοποιήσιμου και ενός μηδενοδύναμου τελεστή κατά μοναδικό τρόπο.

Δηλαδή υπάρχουν ευθείς προσθετέοι

,

του

κατά τρόπο ώστε για τον περιορισμό του

στον

να υπάρχει μία βάση ιδιοδιανυσμάτων και ο περιορισμός του

στο

να είναι μηδενοδύναμος. Η άσκηση είναι νομίζω άμεση συνέπεια του θεωρήματος.
Μαυρογιάννης

#6

Για την πρώτη άσκηση η πιο σύντομη λύση που γνωρίζω είναι αυτή που έβαλε ο Κώστας στο Mathlinks. Βάζω και μια λύση που αποφεύγει την γραμμική άλγεβρα:

Έστω $A = \{1,2,\ldots,n\}$ και $S = \{B_1,\ldots,B_{n+1}\}$ . Για κάθε $I \subseteq \{1,\ldots,n\}$ , μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\displaystyle{ \left| \bigcup_{i \in I} B_i \right| \geqslant |I|}$ . (Αν όχι, τότε θέτουμε $\displaystyle{A = \left| \bigcup_{i \in I} B_i \right| }, S = \{B_i:i \in I\}$ και επαγωγικά υπάρχουν κατάλληλα υποσύνολα.)

Κατασκευάζουμε τώρα ένα διμερές γράφημα όπου ενώνουμε το $i \in A$ με το $B_j \; (1 \leqslant j \leqslant n)$ αν και μόνο αν $i \in B_j$ . Ισχυριζόμαστε ότι για κάθε $1 \leqslant j \leqslant n$ μπορούμε να βρούμε ένα $a_j \in A$ όλα τα a_j

είναι διαφορετικά μεταξύ τους και επιπλέον $a_j \in B_j$ . Αυτό είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος του γάμου.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $1 \in B_1,2 \in B_2,\ldots,n \in B_n$ . Τα υπόλοιπα τώρα είναι απλά. Βάζουμε το $B_{n+1}$ στην πρώτη ένωση. (Αν $B_{n+1} = \emptyset$ σταματάμε. Αν όχι,) Για κάθε $i \in B_{n+1}$ , βάζουμε τα B_i

στην δεύτερη ένωση. Τώρα η δεύτερη ένωση είναι μεγαλύτερη ή ίση της πρώτης. Αν είναι ίσες σταματάμε. Αν όχι για κάθε

που ανήκει στην δεύτερη ένωση αλλά όχι στην πρώτη βάζουμε το B_i

στην πρώτη ένωση κ.τ.λ.

Κώστας Παππέλης · #7

Κύριε Μαυρογιάννη, μπορώ να έχω μια απόδειξη του θεωρήματος αυτού που αναφέρετε?

Σας ευχαριστώ.

#8

Κώστας Παππέλης έγραψε:..μπορώ να έχω μια απόδειξη του θεωρήματος... ;

Κώστα επειδή δεν έχει νόημα να μεταγράψω την απόδειξη εδώ στέλνω τα σχετικά στοιχεία με προσωπικό μήνυμα. Ευχαρίστως θα τα στείλω και σε όποιον άλλο συνάδελφο ενδιαφέρεται.
Μαυρογιάννης

2 προβλήματα

2 προβλήματα

Re: 2 προβλήματα

Re: 2 προβλήματα

Re: 2 προβλήματα

Re: 2 προβλήματα

Re: 2 προβλήματα

Re: 2 προβλήματα

Re: 2 προβλήματα

Μέλη σε σύνδεση