Σελίδα 1 από 1

SEEMOUS 2009/3

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 06, 2009 11:15 pm
από cretanman
Έστω \mathrm{SL}_2\left(\mathbb{Z}\right)=\{ A| o A είναι 2 \times 2 πίνακας με ακέραια στοιχεία και \det(A)=1 \}.

α) Βρείτε ένα παράδειγμα πινάκων A,B,C \in \mathrm{SL}_2\left(\mathbb{Z}\right) ώστε A^2+B^2=C^2.

β) Δείξτε ότι δεν υπάρχουν A,B,C \in \mathrm{SL}_2\left(\mathbb{Z}\right) τέτοιοι ώστε A^4+B^4=C^4.

SEEMOUS 2009/3

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 12, 2009 4:30 pm
από dement
(α) Ισχυει οτι

\left( 
\begin{array} {c c} 
1 & 1 \\ 
-1 & 0 
\end{array} \right) ^2 + \left(  
\begin{array} {c c} 
0 & -1 \\ 
1 & 1 
\end{array} \right) ^ 2 = \left( 
\begin{array}{c c} 
1 & -2 \\ 
1 & -1 
\end{array} \right)^2

(β) Για καθε A \in \mathrm{SL}_2 (\mathbb{Z}) ισχυει οτι \mathrm{tr}(A^2) = \mathrm{tr}(A)^2 - 2 και \mathrm{tr}(A^4) = \mathrm{tr}(A)^4 - 4 \  \mathrm{tr}(A)^2 + 2.

Κατα συνεπεια, \mathrm{tr}(A^4) \equiv 2, 7 \bmod 8. Οποτε \mathrm{tr}(A^4 + B^4) = \mathrm{tr}(A^4) + \mathrm{tr}(B^4) \equiv 1, 4, 6 \mod 8 και δεν υπαρχει C με C^4 = A^4 + B^4.

Δημητρης Σκουτερης

Re: SEEMOUS 2009

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 12, 2009 5:41 pm
από Mihalis_Lambrou
dement έγραψε: 2. Για καθε A \in SL_2 (\mathbb{Z}) ισχυει οτι tr(A^2) = tr(A)^2 - 2 και tr(A^4) = tr(A)^4 - 4 \  tr(A)^2 + 2.
Πολύ ωραία η λύση σου, Δημήτρη. Ευχαριστούμε.

Ας μου επιτρέψεις να εξηγήσω λίγο αναλυτικότερα (εννοώ αυτό το "λίγο" γιατί βιάζομαι!) το βήμα που σημείωσα, γιατί δεν είναι ... τεριμμένο:

Κάθε πίνακας ικανοποιεί την χαρακτηριστική του εξίσωση, από Cayley-Hamilton. Για 2 \times 2 πίνακες είναι A^2 - [\mathrm{tr}(A)]A + \det(A)I = 0 (*).
Εδώ \det(A) = 1, και \mathrm{tr}(A) = το ίχνος = το άθροισμα των στοιχίων της διαγωνίου.

Παίρνοντας το ίχνος (είναι γραμμική απεικόνιση από το σύνολο των 2 \times 2 πινάκων στους πραγματικούς) έχουμε την πρώτη εξίσωση. Υψώνοντας στο τεράγωνο και αντικαθιστώντας το A^2 από την (*), έχουμε την δεύτερη.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου