SEEMOUS 2009/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3987
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2009/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Μαρ 06, 2009 11:15 pm

Αν a_1,a_2,\ldots, a_n και b_1,b_2,\ldots, b_n είναι πραγματικοί αριθμοί, ορίζουμε τους n \times n πίνακες A=\left(a_{ij}\right) και B=\left(b_{ij}\right) ως εξής:

a_{ij}=a_i-b_j και b_{ij}= \left\{ 
  \begin{array}{ll} 
   1 , & \alpha \nu \ \ a_{ij}\geq 0 \\ 
   0 , & \alpha \nu \ \ a_{ij} < 0. 
  \end{array} 
\right για κάθε i,j \in\{1,2,\ldots,n\}.

Θεωρήστε ένα πίνακα C=\left(c_{ij}\right) με τις ίδιες διαστάσεις και στοιχεία 0 ή 1 ώστε \displaystyle\sum_{j=1}^n b_{ij}=\sum_{j=1}^n c_{ij}, \ \ i\in\{1,2,\ldots,n\} και \displaystyle\sum_{i=1}^n b_{ij}=\sum_{i=1}^n c_{ij}, \ \ j\in\{1,2,\ldots,n\}.

Δείξτε ότι

α) \displaystyle\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\left(b_{ij}-c_{ij}\right)=0 και ότι B=C.

β) ο B είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν υπάρχουν δύο αναδιατάξεις \sigma και \tau του συνόλου \{1,2,\ldots,n\} ώστε b_{\tau(1)}\leq a_{\sigma(1)} < b_{\tau(2)}\leq a_{\sigma(2)} < \cdots \leq  a_{\sigma(n-1)} < b_{\tau(n)}\leq a_{\sigma(n)}.


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες