SEEMOUS 2009/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4016
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2009/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Μαρ 06, 2009 11:15 pm

α) Υπολογίστε το όριο \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_0^1\left(x(1-x)\right)^nx^k \, dx, όπου k\in\mathbb{N}.

β) Υπολογίστε το όριο \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_0^1\left(x(1-x)\right)^nf(x) \, dx, όπου f:[0,1] \to \mathbb{R} είναι μία συνεχής συνάρτηση.


Αλέξανδρος Συγκελάκης
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: SEEMOUS 2009

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Μαρ 13, 2009 11:09 am

α) Με επαναλαμβανομενη ολοκληρωση κατα παραγοντες, βλεπουμε οτι η παρασταση ισουται με \frac{2n+1}{k + 2n + 1} \times \frac{C(2n,n)}{C(k+2n,n)} (οπου C ο διωνυμικος συντελεστης). Το οριο του πρωτου παραγοντα ειναι 1 και δεν τον ξαναγραφουμε. Το αντιστροφο του δευτερου παραγοντα ισουται με \frac{C(k+2n,n)}{C(2n,n)} = \displaystyle \sum_{m=0}^k C(k,m) \frac{C(2n,n-m)}{C(2n,n)} = \displaystyle \sum_{m=0}^k C(k,m) \frac{C(n+m,m)}{C(n,m)}. Καθενα απο τα (πεπερασμενου πληθους) πηλικα ειναι ρητη συναρτηση που τεινει στο 1, οποτε το οριο ειναι \displaystyle \sum_{m=0}^k C(k,m) = 2^k και το αρχικο οριο ειναι 2^{-k} (αφου ειχαμε παρει το αντιστροφο).

Γενικευση:

β) Η f ειναι συνεχης σε συμπαγες συνολο, οποτε φραγμενη. Εστω M > 0 ενα φραγμα της.

Οριζουμε την ακολουθια συναρτησεων g_n(x) = \frac{x^n (1-x)^n}{\displaystyle \int_0^1 t^n (1-t)^n dt} = (2n+1) \times C(2n,n) \times x^n (1-x)^n. Παρατηρουμε τα εξης :

1. Η συναρτηση g_n ειναι γνησιως αυξουσα στο [0,1/2] και γνησιως φθινουσα στο [1/2,1] για καθε n \in \mathbb{N}.

2. \displaystyle \int_0^1 g_n (x) dx = 1 για καθε n \in \mathbb{N}

3. \displaystyle \lim_{n \to \infty} g_n (x) = 0 για καθε x \in [0,1] - \{1/2\} (απο το γεγονος οτι \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{C(2n,n)}{4^n} = 0).

4. Η παρασταση της ασκησης ισουται με \displaystyle \int_0^1 f(x) g_n(x) dx.

Η ακολουθια g_n 'ψηλωνει' και 'λεπταινει' γυρω απο το 1/2, με σταθερο ολοκληρωμα. Διαισθητικα βλεπουμε οτι το οριο πρεπει να ειναι το f(1/2).

Εστω \epsilon > 0. Παιρνουμε το αναλογο \delta > 0 (απο τη συνεχεια) γυρω απο το x = 1/2 και επιλεγουμε n_0 \in \mathbb{N} τετοιο ωστε g_n (1/2 - \delta) < \frac{\epsilon}{M} για καθε n > n_0. Θετουμε t(x) \equiv f(x) - f(1/2). Ισχυει |t(x)| \leq \epsilon στο [1/2 - \delta, 1/2 + \delta] (εκ κατασκευης) και |t(x)| \leq 2M (απο το φραγμα) οπουδηποτε αλλου. Εχουμε οτι :

\left| \displaystyle \int_0^1 f(x) g_n(x) dx - f(1/2) \right|  = \left| \displaystyle \int_0^1 t(x) g_n(x) dx \right| \leq \left| \displaystyle \int_0^{1/2 - \delta} t(x) g_n(x) dx \right| + \left| \displaystyle \int_{1/2 + \delta}^1 t(x) g_n(x) dx \right| + \left| \displaystyle \int_{1/2 - \delta}^{1/2 + \delta} t(x) g_n(x) dx \right| \leq

\leq \epsilon + \epsilon + \epsilon = 3 \epsilon. Αρα το οριο ειναι πραγματι το f(1/2).

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Re: SEEMOUS 2009

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Παρ Δεκ 25, 2009 4:19 am

Αυτό το θέμα παρουσιάζει αρκετές ως πολλές ομοιότητες με θέμα του διαγωνισμού Jarnik (του 15ου, Απρίλης του 2005). Έτσι μπορεί να πάει ο ένας διαβασμένος κι ο άλλος αδιάβαστος.

Λέγανε τότε: δίνεται συνεχής f:[0,1]\times [0,1]\to {\mathbb R}. Να βρεθεί το \lim\limits_{n\to\infty }\left (\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\right )^2\int_0^1\int_0^1(xy(1-x)(1-y))^nf(x,y)\,dx\,dy.

Για να είμαι ακριβής εδώ η παρένθεση είναι xy(1-y)(1-y) αλλά μάλλον πρόκειται για τυπογραφικό.


Καραδήμας
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 24, 2009 1:57 pm

Re: SEEMOUS 2009

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καραδήμας » Τετ Δεκ 30, 2009 5:19 pm

Το πρόβλημα αυτό βρίσκεται στο γνωστό πλέον Biler και Witkowski: είναι το 5.73 στη σελίδα 57.
Λέγανε τότε: δίνεται συνεχής f:[0,1]\times [0,1]\to {\mathbb R}. Να βρεθεί το \lim\limits_{n\to\infty }\left (\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\right )^2\int_0^1\int_0^1(xy(1-x)(1-y))^nf(x,y)\,dx\,dy.
Με παραπομπή στο Matematika segodnia του Dorogovcev (από το Κίεβο, που έχει επίσης πετυχημένες συμμετοχές σε αυτούς τους διαγωνισμούς).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες