Όριο πολλαπλού ολοκληρώματος

#1

Έστω $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ συνεχής. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right) \; dx_1 \cdots dx_n = f\left(\frac{1}{2}\right).}$

peter · #2

Να γράψω μια ιδεά: Πρώτα το δείχνουμε για μονώνυμα f_k(x)=x^k

, κατόπιν λόγω ολοκληρώματος περνάει σε γραμμικούς συνδυασμούς τέτοιων, δηλαδή πολυώνυμα και τέλος χρησιμοποιώντας το προσεγγιστικό θεώρημα του Weierstrass περνάμε σε όλες τις συνεχείς στο [0,1]

.

#3

Πολύ σωστά. Μένει βέβαια και η εκτέλεση.

Tolaso J Kos · #4

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 04, 2011 2:50 pm
Έστω $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ συνεχής. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right) \; dx_1 \cdots dx_n = f\left(\frac{1}{2}\right).}$

Ας ζωντανέψουμε το παλιό αυτό νήμα. Είναι γνωστό ότι:

$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right) \, \mathrm{d}(x_1, \dots, x_n) = \mathbb{E}\left [ f \left ( \frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n} \right ) \right ]}$
Όμως , αν $X_1, X_2 , \dots X_n$ ανεξάρτητες και ομοιόμορφες στο (0, 1)

τυχαίες κατανομές τότε από το νόμο των μεγάλων αριθμών έχουμε:

$\displaystyle{\begin{matrix} \dfrac{X_1+\cdots + X_n}{ n}&\rightarrow & \mathbb{E}(X)= \dfrac{1}{2} \end{matrix}}$
και συνεπώς το ζητούμενο όριο κάνει $f\left( \frac{1}{2} \right)$ όπως θέλαμε.

#5

Δεν είναι σωστό αυτό. Κατ' αρχάς λείπει ένα όριο από το δεξί μέλος. Η απόδειξη φαίνεται να υπονοεί ότι αν (Y_n)

ακολουθία τυχαίων μεταβλητών με $Y_n \to Y$ και

συνεχής συνάρτηση τότε $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\mathbb{E}[f(Y_n)] = \mathbb{E}[f(Y)].$

Στο παράδειγμά μας είναι $\displaystyle Y_n = \frac{X_1+\cdots +X_n}{n}$

Ας παρατηρήσουμε επίσης ότι υπάρχουν πολλών ειδών συγκλίσεις τυχαίων μεταβλητών. Ακόμη όμως και για την σύγκλιση σχεδόν παντού (που δίνει ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών) το πιο πάνω δεν ισχύει.

Πράγματι έστω $Y_1,Y_2,\ldots$ τυχαίες μεταβλητές στο [0,1]

που ορίζονται ως εξής: Η Y_n

παίρνει την τιμή

στο $[0,1-\frac{1}{n}]$ και την τιμή

στο $(\frac{1}{n},1]$ . Είναι άμεσο ότι $\mathbb{E}Y_n = 1$ για κάθε

.

Η ακολουθία (Y_n)

συγκλίνει σχεδόν παντού στην τυχαία μεταβλητή

η οποία παίρνει παντού την τιμή

αφού για κάθε $x \in [0,1)$ έχουμε $\lim_{n \to \infty}Y_n(x) = 0$ . Όμως $\displaystyle \mathbb{E}Y = 0 \neq \lim_{n \to \infty}\mathbb{E}Y_n$

Όριο πολλαπλού ολοκληρώματος

Όριο πολλαπλού ολοκληρώματος

Re: Όριο πολλαπλού ολοκληρώματος

Re: Όριο πολλαπλού ολοκληρώματος

Re: Όριο πολλαπλού ολοκληρώματος

Re: Όριο πολλαπλού ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση