Όριο πολλαπλού ολοκληρώματος

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8179
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Όριο πολλαπλού ολοκληρώματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιουν 04, 2011 2:50 pm

Έστω f:[0,1] \to \mathbb{R} συνεχής. Να δειχθεί ότι

\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right) \; dx_1 \cdots dx_n = f\left(\frac{1}{2}\right).}


peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: Όριο πολλαπλού ολοκληρώματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Σάβ Ιουν 04, 2011 5:33 pm

Να γράψω μια ιδεά: Πρώτα το δείχνουμε για μονώνυμα f_k(x)=x^k, κατόπιν λόγω ολοκληρώματος περνάει σε γραμμικούς συνδυασμούς τέτοιων, δηλαδή πολυώνυμα και τέλος χρησιμοποιώντας το προσεγγιστικό θεώρημα του Weierstrass περνάμε σε όλες τις συνεχείς στο [0,1].


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8179
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Όριο πολλαπλού ολοκληρώματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Ιουν 05, 2011 1:18 pm

Πολύ σωστά. Μένει βέβαια και η εκτέλεση.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3948
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Όριο πολλαπλού ολοκληρώματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιαν 23, 2019 1:03 pm

Demetres έγραψε:
Σάβ Ιουν 04, 2011 2:50 pm
Έστω f:[0,1] \to \mathbb{R} συνεχής. Να δειχθεί ότι

\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left( \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right) \; dx_1 \cdots dx_n = f\left(\frac{1}{2}\right).}

Ας ζωντανέψουμε το παλιό αυτό νήμα. Είναι γνωστό ότι:

\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right) \, \mathrm{d}(x_1, \dots, x_n) = \mathbb{E}\left [ f \left ( \frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n} \right ) \right ]}
Όμως , αν X_1, X_2 , \dots X_n ανεξάρτητες και ομοιόμορφες στο (0, 1) τυχαίες κατανομές τότε από το νόμο των μεγάλων αριθμών έχουμε:

\displaystyle{\begin{matrix} \dfrac{X_1+\cdots + X_n}{ n}&\rightarrow & \mathbb{E}(X)= \dfrac{1}{2} \end{matrix}}
και συνεπώς το ζητούμενο όριο κάνει f\left( \frac{1}{2} \right) όπως θέλαμε.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8179
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Όριο πολλαπλού ολοκληρώματος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιαν 23, 2019 11:49 pm

Δεν είναι σωστό αυτό. Κατ' αρχάς λείπει ένα όριο από το δεξί μέλος. Η απόδειξη φαίνεται να υπονοεί ότι αν (Y_n) ακολουθία τυχαίων μεταβλητών με Y_n \to Y και f συνεχής συνάρτηση τότε \displaystyle  \lim_{n \to \infty}\mathbb{E}[f(Y_n)] = \mathbb{E}[f(Y)].

Στο παράδειγμά μας είναι \displaystyle  Y_n = \frac{X_1+\cdots +X_n}{n}

Ας παρατηρήσουμε επίσης ότι υπάρχουν πολλών ειδών συγκλίσεις τυχαίων μεταβλητών. Ακόμη όμως και για την σύγκλιση σχεδόν παντού (που δίνει ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών) το πιο πάνω δεν ισχύει.

Πράγματι έστω Y_1,Y_2,\ldots τυχαίες μεταβλητές στο [0,1] που ορίζονται ως εξής: Η Y_n παίρνει την τιμή 0 στο [0,1-\frac{1}{n}] και την τιμή n στο (\frac{1}{n},1]. Είναι άμεσο ότι \mathbb{E}Y_n = 1 για κάθε n.

Η ακολουθία (Y_n) συγκλίνει σχεδόν παντού στην τυχαία μεταβλητή Y η οποία παίρνει παντού την τιμή 0 αφού για κάθε x \in [0,1) έχουμε \lim_{n \to \infty}Y_n(x) = 0. Όμως \displaystyle \mathbb{E}Y = 0 \neq \lim_{n \to \infty}\mathbb{E}Y_n


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης