SEEMOUS 2011

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

SEEMOUS 2011

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Τρί Μαρ 01, 2011 11:26 pm

Άυριο τα παιδιά της εθνικής ομάδας και των άλλων Ελληνικών ομάδων αναχωρούν για το Βουκουρέστι της Ρουμανίας όπου θα διεξαχθεί ο διαγωνισμός την Παρασκευή.

Να ευχηθούμε καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά, ανάμεσα στα οποία βρήσκονται και αρκετά μέλη του φόρουμ.

Άνοιξα το θέμα για να γράψουμε εδώ τα θέματα μετά το διαγωνισμό, να προτείνουμε λύσεις, και να συγχαρούμε όλα τα παιδιά για την προσπάθειά τους και για τα μετάλια που πιστεύω πως θα φέρουνε.

Αναμένετε ο διαγωνισμός να είναι αρκετά πίο απαιτητικός από τους δύο προηγούμενους, καθώς θα υπάρχουν εθνικές ομάδες από τη Ρωσία και την Ουκρανία


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5433
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: SEEMOUS 2011

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Μαρ 02, 2011 12:19 am

Καλό ταξίδι και καλή επιτυχία στα παιδιά !

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2011

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μαρ 02, 2011 11:04 am

Καλή επιτυχία σε όλους σας.


Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 767
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2011

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Τετ Μαρ 02, 2011 11:32 am

Εύχομαι καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά!

Νίκος


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12193
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: SEEMOUS 2011

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μαρ 02, 2011 1:27 pm

Εύχομαι "καλά μετάλλια", "καλά Μαθηματικά", "καλές γνωριμίες".

Έχω διατελέσει μέλος της επιστημονικής επιτροπής σε δύο παλαιότερους SEEMOUS και η εμπειρία θα μου μείνει αξέχαστη. Πρωτίστως όμως βάζω πάνω από όλα την γνωριμία μου με παιδιά που σήμερα γράφουν λαμπερά μηνύματα στον ιστότοπό μας.

Καλή τύχη (αν και δεν την χρειάζεστε) και χαιρετίσματα στον συνοδό σας, τον φίλο και άξιο μαθηματικό, Αχιλλέα Τερτίκα, Καθηγητή στο Μαθηματικό Κρήτης.

Φιλικά,

Μιχάλης


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: SEEMOUS 2011

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Μαρ 02, 2011 3:15 pm

Πολλές ευχές και από εμένα και καλά να περάσετε.

Δημήτρης Σκουτέρης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5433
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: SEEMOUS 2011

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Μαρ 02, 2011 11:52 pm

Καλή επιτυχία στην ομάδα και καλή παραμονή στο Βουκουρέστι !

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2011

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Μαρ 04, 2011 3:39 pm

Ο διαγωνισμος τελειωσε πριν απο λιγο. Καλα αποτελεσματα σε ολους. Τωρα περιμενουμε τα θεματα

Συγνωμη για τους τονους. Γραφω απο καπου οπου δεν εχω αυτη τη δυνατοτητα


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2011

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Μαρ 04, 2011 7:57 pm

Δεν ξέρω κατα πόσο είναι έγκυρη η πηγή, αλλά σύμφωνα με όσα λέει αυτά είναι τα θέματα:

http://mathproblems123.wordpress.com/20 ... problem-1/


http://mathproblems123.wordpress.com/20 ... problem-2/


http://mathproblems123.wordpress.com/20 ... problem-3/


http://mathproblems123.wordpress.com/20 ... problem-4/

Μια γρήγορη αντιμετώπιση για το πρώτο:
Ο μετασχηματισμός u^{n+1} = x στο δεξί ολοκλήρωμα θα δώσει:
LHS = \int_{0}^{1}{(n+1)u^nf(u^{n+1})du} \leq RHS = \int_{0}^{1}{(n+1)u^nf(u)du}
διότι: u^{n+1} \leq u, u \in [0, 1] όπου εφαρμόζοντας την f και πολλαπλασιάζοντας με (n+1)u^n και ολοκληρώνοντας μετά στο [0,1] προκείπτει η ζητούμενη.

Δείχνουμε τώρα ότι ισότητα ικανοποιούν μόνο οι σταθερές συναρτήσεις στο [0,1].
Πράγματι, αν η ισότητα ισχύει, τότε \int_{0}^{1}{(n+1)u^n(f(u) - f(u^{n+1}))du} = 0,
με το μέσα να μην αλλάζει πρόσημο και να είναι συνεχές, επομένος πρέπει για κάθε x \in [0,1]
να έχουμε f(x) = f(x^{n+1}). Επειδή είναι συνεχής, αρκεί να δείξω ότι είναι σταθερή στο (0,1).
Έστω ότι είναι μη σταθερή στο (0,1), τότε υπάρχει ένα k \in (0,1), ώστε το S_k = \{1 > x \geq k | f(x) > f(k)\}
να είναι μη κενό, ορίζω s_k = inf{S_k}, τότε στο [k, s_k) θα έχω f(x) = f(k),
και επομένως για τυχαίο e > 0 θα βρώ στο [s_k - e, s_k], t με f(t) = f(k) ενώ στο
[s_k, s_k + e] θα έχω στοιχείο του S_k, έστω s, οπότε f(t) = f(k) > f(s), άρα μπορώ να βρώ
t < s, |t - s| < 2e, f(t) < f(s), αυτό είναι άτοπο διότι σε μια περιοχή του s_k η x^{n+1} - x είναι
κάτω φραγμένη από κάτι μη μηδενικό, και μπορούμε να πάρουμε x με x^{n+1} < s_k, x > s_k και στη συνέχεια
να πάρουμε e ώστε x^n < t < s_k < s < x \Rightarrow f(x^n) \leq f(t) < f(s) \leq f(x) \Rightarrow f(x^n) < f(x) το οποίο όμως δεν μπορεί να ισχύει. Άρα η f είναι σταθερή και βλέπουμε ότι όλες οι σταθερές συναρτήσεις ικανοποιούν.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2011

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μαρ 04, 2011 11:21 pm

Μια σύντομη λύση για την (2):

Παρατηρούμε ότι a_{ii} = 0 για κάθε i και άρα αναγκαστικά n \geqslant 2

Έστω \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του A. Τότε

\sum_{i=1}^n \lambda_i^2 = tr(A^2) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}a_{ji} \leqslant 0.

Αν όλα τα \lambda_i είναι πραγματικοί, τότε πρέπει να ισούνται με 0. Αυτό όμως δίνει A^n = 0, άτοπο. Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A έχει τουλάχιστον μία μη πραγματική ρίζα και άρα (αφού είναι πραγματικό πολυώνυμο) τουλάχιστον δύο διαφορετικές μη πραγματικές ρίζες. Εφ' όσων είναι διαφορετικές, και οι δύο πρέπει να δίνουν από μία μη πραγματική ιδιοτιμή.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2011

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Μαρ 05, 2011 11:54 am

Χτες βράδυ βρήκα και μια λύση για το 4ο, αλλά πιστεύω πως ισως να είναι και λάθος γιατί δε χρησημοποιώ το C^2... Για να δούμε:

Αν f σταθερή τότε είναι προφανές, υποθέτουμε f(1) > f(0)
Ορίζω F(x) την παράγουσα με F(0) = 0 (ολοκλήρωμα από 0 μέχρι x)
Γράφουμε:
[a_n, b_n] για το ενδιάμεσο διάστημα και
I = F(1) - F(0) = F(1) - F(\frac{n-1}{n}) + F(\frac{n-1}{n}) - ... - F(0)
Και από ανάπτυγμα Taylor:
F(\frac{i}{n}) - F(\frac{i-1}{n}) = \frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n}) + \frac{1}{2n^2}f'(j_i)
οπότε είναι εύκολο να δούμε ότι:
n(I - a_n) = -\frac{1}{3}(f(1) - f(0)) + \frac{1}{2}R_n \rightarrow (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})(f(1) - f(0)) > 0
που ολοκληρώνει την απόδειξη για το κάτω άκρο, με το R_n να είναι άθροισμα Riemann για την f' στο [0,1] και επομένως πάει στο f(1) - f(0).

Για το άλλο άκρο έχουμε ομοίως:
n(I - b_n) \rightarrow (\frac{1}{2} - \frac{2}{3})(f(1) - f(0)) < 0
και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Χάνω πουθενά???


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2011

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 05, 2011 1:18 pm

Νίκο, δεν βλέπω τίποτα λάθος.

Νομίζω ότι η ίδια απόδειξη δείχνει ότι αν χωρίσουμε το [L_n,U_n] σε περιττό αριθμό διαστημάτων, τότε για αρκετά μεγάλο n το \displaystyle{ \int_0^1 f(x) \; dx} θα βρίσκεται στο μεσαίο διάστημα.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2011

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Μαρ 05, 2011 8:04 pm

Αν η παρακάτω πηγή είναι έγκυρη, τότε μιλάμε για Ελληνικό θρίαμβο στα μαθηματικά:

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p2195614

2 ΧΡΥΣΑ:
Ηλίας Ζαδίκ (Ilias_Zad) - τμημα Μαθηματικών ΕΚΠΑ
Γιώργος Μοσχίδης (george13) - ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ

Ελπίζω πως ανάμεσα στους υπόλοιπους θα υπάρχουν και άλλα μετάλια, αργυρά η χάλκινα!!!


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Eukleidis
Δημοσιεύσεις: 669
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 01, 2009 9:55 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: SEEMOUS 2011

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eukleidis » Σάβ Μαρ 05, 2011 8:31 pm

http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=753&t=8467

2 :winner_first_h4h:
2 :winner_second_h4h:
2 :winner_third_h4h:

Πολλα συγχαρητήρια!


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2011

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 05, 2011 8:40 pm

Πολλά συγχαρητήρια. :clap2:


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1893
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: SEEMOUS 2011

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Μαρ 05, 2011 8:50 pm

Πολύ καλά νέα!

Πολλά συγχαρητήρια!!


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2011

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 05, 2011 8:59 pm

Τα θέματα στα ελληνικά:

Θέμα 1ο

Δίνονται ακέραιος n \geqslant 1 και μη φθίνουσα συνάρτηση f:[0,1] \to \mathbb{R}. Να αποδειχθεί ότι
\displaystyle{  
\int_0^1 f(x) \; dx \leqslant (n+1) \int_0^1 x^n f(x) \; dx. 
}
Να βρεθούν όλες οι μη φθίνουσες συνεχείς συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

Θέμα 2ο

Έστω A = (a_{ij}) πραγματικός n \times n πίνακας ώστε A^n \neq 0 και a_{ij}a_{ji} \leqslant 0 για κάθε i,j. Να δειχθεί ότι ο A έχει τουλάχιστον δύο μη πραγματικές ιδιοτιμές.

Θέμα 3ο

Δίνονται διανύσματα \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} \in \mathbb{R}^n. Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{ 
(\|\mathbf{a}\|(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}))^2 + (\|\mathbf{b}\|(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}))^2 \leqslant \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \|\mathbf{c}\|^2 (\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\| + |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|) 
}


Θέμα 4ο

Έστω f :[0,1]\to \mathbb{R} αύξουσα συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Ορίζουμε ακολουθίες

\displaystyle{L_n=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)} και

\displaystyle{U_n=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)}

για n \geqslant 1. Διαιρούμε το διάστημα [L_n,U_n] σε τρία ίσα τμήματα. Να αποδειχθεί ότι για αρκετά μεγάλο n o αριθμός \displaystyle{I= \int_0^1 f(x) \; dx} ανήκει στο μεσαίο από αυτά τα τμήματα.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6879
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: SEEMOUS 2011

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Μαρ 05, 2011 9:02 pm

Καλησπέρα!
Γράφω με σερνόμενη σύνδεση...
Μπράβο στα παιδιά!
Μπράβο στον Ηλία, του οποίου έτσι κι αλλιώς είμαι θαυμαστής!
Ηλία πάντα επιτυχίες!
:clap2:


Χρήστος Κυριαζής
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: SEEMOUS 2011

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Σάβ Μαρ 05, 2011 9:08 pm

Μπράβο σε όλα τα παιδιά και σε όσους τα βοήθησαν στην προετοιμασία.

Συγχαρητήρια στον Ηλία , πάντα τέτοια!

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2011

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Μαρ 05, 2011 9:15 pm

Μολις μίλησα με τον Ηλία στο τηλέφωνο. Εκτώς του ότι πήρε χρυσό, πέτυχε μια διάκριση που δεν έχει ξαναπετύχει Έλληνας φοιτητής/μαθητής:
πήρε την πρώτη θέση του διαγωνισμού με Perfect Score, δηλαδή 4/4 θέματα
O Γιώργος ο Μοσχίδης είχε κοντά στα 3 θέματα, και πήρε χρυσό με 28/40.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες