4 άλυτες-πρώτη

Συντονιστής: Demetres

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

4 άλυτες-πρώτη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Πέμ Μαρ 14, 2013 8:46 pm

Έστω πολυώνυμο \displaystyle{f \in \Bbb{Q}[X]} με βαθμό \displaystyle{ \ge 2} και το σύνολο \displaystyle{A=\{x \in \Bbb{R} \setminus \Bbb{Q} \wedge f(x) \in \Bbb{Q}\}}

Να δειχθεί ότι \displaystyle{inf\{\left|t-x\right|, t \in A \}=0} για κάθε \displaystyle{x \in \Bbb{R}}

Gazeta Matematica C878


Σπύρος Καπελλίδης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6461
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: 4 άλυτες-πρώτη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Φεβ 15, 2023 1:36 am

Επαναφορά!


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4460
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: 4 άλυτες-πρώτη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τρί Μαρ 07, 2023 5:03 pm

s.kap έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2013 8:46 pm
Έστω πολυώνυμο \displaystyle{f \in \Bbb{Q}[X]} με βαθμό \displaystyle{ \ge 2} και το σύνολο \displaystyle{A=\{x \in \Bbb{R} \setminus \Bbb{Q} \wedge f(x) \in \Bbb{Q}\}}

Να δειχθεί ότι \displaystyle{inf\{\left|t-x\right|, t \in A \}=0} για κάθε \displaystyle{x \in \Bbb{R}}

Gazeta Matematica C878
Γράφω μια προσέγγιση. Ελπίζω να μην μου έχει ξεφύγει κάτι.

Ας δούμε ποια ακριβώς είναι τα στοιχεία του A. Πρόκειται για εκείνους τους άρρητους που απεικονίζονται σε ρητούς. Δηλαδή για εκείνα τα \rho \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{ Q} για τα οποία f(\rho)=\frac{m}{n} με m, n \in \mathbb{Z}. Ισοδύναμα για εκείνους τους πραγματικούς αλγεβρικούς που είναι ρίζες πολυωνύμων της μορφής mf+n με m, n \in \mathbb{Z}.

Το αποδεικτέο ισοδυναμεί με το ότι το A είναι πυκνό στο \mathbb{R}.

Για την απόδειξη αρκεί να θεωρήσουμε πραγματικούς \alpha<\beta και να αποδείξουμε ότι μεταξύ τους βρίσκεται στοιχείο του A. Μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι τα 0 \neq f(\alpha) \neq f(\beta) \neq 0 διότι σε ενάντια περίπτωση μπορούμε πάντα να θεωρήσουμε \alpha', \beta' τέτοιους ώστε \alpha<\alpha'<\beta'<\beta,
0 \neq f(\alpha') \neq f(\beta') \neq 0 και να εργασθούμε με αυτούς.

To f έχει ρητούς συντελεστές και επομένως μπορεί να γραφεί
\displaystyle{f=\frac{1}{r}f^{*}}
όπου r ακέραιος και το f^{\ast} έχει ακέραιους συντελεστές. Ας πούμε ότι
\displaystyle{f^{\ast} (x)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+...+c_{1}x+c_{0},\,\,\,\,\,c_{i}\in \mathbb{Z}.}

Θεωρούμε τις τεμνόμενες ευθείες
\displaystyle{\left( \varepsilon _{1}\right) :\,\,\,\,f^{\ast }\left( \alpha \right) x+y=0,\,\,\,\,\,\,\left( \varepsilon _{2}\right) :\,\,\,\,f^{\ast }\left( \beta \right) x+y=0}
Το αρνητικό μέρος της \left( \varepsilon _{1}\right) και το θετικό μέρος της \,\left( \varepsilon _{2}\right) τέμνονται κατά το εσωτερικό μιας γωνίας του επιπέδου η οποία περιέχει άπειρα συνδεσμικά σημεία (\kappa,\lambda) δηλαδή σημεία με συντεταγμένες ακεραίους. Είναι πάντα δυνατόν να επιλέξουμε ένα από αυτά ώστε:
\bullet \kappa=\pm p όπου p πρώτος που δεν διαιρεί κανένα από τους συντελεστές του f^{*}
\bullet \lambda που δεν διαιρείται από τον p.
Τότε για το πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές:
\displaystyle{P\left( y\right) =\left( \kappa c_{0}+\lambda \right) y^{n}+kc_{1}y^{n-1}+...+kc_{n-1}y+kc_{n},}
έχουμε ότι:
\bullet p \cancel{|} \kappa c_{0}+\lambda
\bullet p|kc_{i},\,\,i=1,...,n
\bullet p^{2} \cancel{|} kc_{n}
Επομένως από το κριτήριο του Eisenstein το P είναι ανάγωγο. Άρα κάθε ρίζα του είναι μιγαδικός αριθμός που δεν είναι ρητός.

Από την επιλογή των \kappa, \lambda έχουμε ότι
\displaystyle{\left( \,f^{\ast }\left( \alpha \right) \kappa +\lambda \right) \,\left( \,\,f^{\ast }\left( \beta \right) \kappa +\lambda \right) <0}
άρα από το θεώρημα του Bolzano το πολυώνυμο \kappa f^{\ast }\left( x\right) +\lambda έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα \rho μεταξύ των \alpha και \beta. Επειδή f^{\ast }\left( 0\right) =\kappa c_{0}+\lambda \neq 0 αφού ο \lambda δεν διαιρείται από τον p ο \rho δεν είναι 0. Επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι \rho =\frac{1}{t}. Τότε από την σχέση
\displaystyle{\kappa f^{\ast }\left( \frac{1}{t}\right) +\lambda =0,}
έχουμε:
\displaystyle{\kappa c_{n}\left( \frac{1}{t}\right) ^{n}+\kappa c_{n-1}\left( \frac{1}{t}\right) ^{n-1}+...+\kappa c_{1}\left( \frac{1}{t}\right) +\kappa c_{0}+\lambda =0}
και επομένως
\displaystyle{\left( \kappa c_{0}+\lambda \right) t^{n}+\kappa c_{1}t^{n-1}+...+\kappa c_{n-1}t+\kappa c_{n}=0.}
Άρα P(t)=0 επομένως ο πραγματικός t είναι άρρητος. Άρα το αυτό θα ισχύει για τον αντίστροφο του \rho.
Από την \kappa f^{\ast }\left( \rho \right) +\lambda =0 έχουμε \kappa r\frac{1}{r}f^{\ast }\left( \rho \right) +\lambda =0 συνάγουμε οτι ο άρρητος \rho είναι ρίζα του \left( \kappa r\right) f^{\ast }+\lambda άρα είναι στοιχείο του A που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Edit 8/3/2023 15.35 Διόρθωση ονόματος πολυωνύμου από g σε P.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες