IMC 2020/2/5

Συντονιστής: Demetres

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3129
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

IMC 2020/2/5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Αύγ 01, 2020 9:51 pm

Βρείτε όλες τις δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις

\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow (0,\infty )

που για κάθε x στο \mathbb{R}
ικανοποιούν την

\displaystyle f''(x)f(x)\geq 2(f'(x))^{2}



Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 206
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: IMC 2020/2/5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Κυρ Αύγ 02, 2020 1:44 pm

Βάζω την λύση που έκανα στον διαγωνισμό. Αρχικά από την δοσμένη η f' βγαίνει άμεσα αύξουσα. Έστω πως υπάρχει κάποιο c \in \mathbb{R} με f'(c) > 0. Τότε είναι f'(x) >0, \forall x \geq c. Ορίζουμε την συνάρτηση:

g(x) = \frac{f(x)} {f'(x)} + x, x \geq c.

Η οποία είναι καλώς ορισμένη. Από την δοσμένη παραγωγίζοντας την g προκύπτει φθίνουσα, συνεπώς :

g(x) \leq g(c), x \geq c

Επειδή το πηλίκο   \frac{f(x)} {f'(x)} είναι θετικό στο πεδίο ορισμού της g από υπόθεση και τις παρατηρήσεις στην αρχή για x αρκετά μεγάλο η προηγούμενη σχέση δίνει άτοπο, άρα δεν υπάρχει τέτοιο c. Ομοίως αν υπάρχει c με f'(c) <0 ορίζω πάλι την ίδια g για x \leq c προκύπτει με παρόμοιο επιχείρημα με πριν άτοπο. Άρα οι συναρτήσεις που ικανοποιούν είναι μόνο οι σταθερές θετικές.


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3129
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 2020/2/5

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Αύγ 02, 2020 9:42 pm

Η δοσμένη σχέση γράφεται
\displaystyle (\frac{f'(x)}{f(x)})'\geq (\frac{f'(x)}{f(x)})^{2}
Θέτουμε
\displaystyle  h(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}
που ικανοποιεί την
\displaystyle  h'(x)\geq h^2(x)(1)
οπότε είναι αύξουσα.
Αρα υπάρχουν τα όρια
\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }h(x)=a,\lim_{x\rightarrow \infty }h(x)=b
Δεν μπορεί κάποιο από τα a,b να είναι πραγματικός μη μηδενικός.
π,χ αν ο a είναι μη μηδενικός πραγματικός τότε επειδή
\displaystyle f(n+1)-f(n)=f'(x_n)
παίρνοντας όρια έχουμε ΑΤΟΠΟ.
Αν a=b=0 τότε f'(x)=0 και η f σταθερή.
Διαφορετικά κάποιο θα είναι άπειρο .
Εστω b=\infty
Τότε h(x)>0 για x>c
Η (1) γράφεται για x>c
\displaystyle (-\frac{1}{h(x)}-x)'\geq 0
δηλαδή
\displaystyle -\frac{1}{h(x)}-x\geq -\frac{1}{h(c+1)}-(c+1)(2)
για x>c+1
Παίρνοντας \displaystyle x\rightarrow \infty στην (2)
έχουμε ΑΤΟΠΟ.
Αρα a=b=0 και η f είναι σταθερή.

Το ενδιαφέρον είναι ότι δεν χρειάζεται η υπόθεση ότι το σύνολο τιμών είναι
το (0,\infty )

Η εκφώνηση θα μπορούσε να είναι

Βρείτε όλες τις δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις

\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

που για κάθε x στο \mathbb{R}
ικανοποιούν την

\displaystyle f''(x)f(x)\geq 2(f'(x))^{2}

Πάλι είναι οι σταθερές.

Αν δεν προλάβει κάποιος θα βάλω λύση και σε αυτό το πρόβλημα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3129
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: IMC 2020/2/5

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Αύγ 08, 2020 6:55 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Αύγ 02, 2020 9:42 pm

Η εκφώνηση θα μπορούσε να είναι

Βρείτε όλες τις δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις

\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

που για κάθε x στο \mathbb{R}
ικανοποιούν την

\displaystyle f''(x)f(x)\geq 2(f'(x))^{2}

Πάλι είναι οι σταθερές.
Για να δούμε την λύση.
Όταν αναφέρω προηγούμενη περίπτωση εννοώ την λύση που έκανα όταν το πεδίο τιμών
της f είναι το (0,\infty)

Αν η f δεν είναι ταυτοτικά 0 μπορούμε να υποθέσουμε ότι το σύνολο A=\left \{ x:f(x)> 0 \right \}
είναι μη κενό.
Αν A=\mathbb{R} είναι η προηγούμενη περίπτωση.
Παρατηρούμε ότι δεν μπορει να είναι
f(a)=f(b)=0για a<b και f(x)>0 όταν a<x<b.

Αλλά το A είναι ανοικτό όπότε αναγκαστικά ένα από τα ανοικτά διαστήματα που το απαρτίζουν θα είναι
το (-\infty,x_1) η το (x_1,\infty).
Θα καταλήξουμε σε ΑΤΟΠΟ

Ας δούμε την (x_1,\infty) (το άλλο είναι όμοιο)

Είναι f(x_1)=0 και f(x)>0 για x>x_1
Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση ορίζουμε την h(x) για x>x_1
To \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }h(x)
υπάρχει και καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ αν δεν είναι 0
Αν \lim_{x\rightarrow \infty }h(x)=0
τότε επειδή είναι αύξουσα θα έχουμε
h(x)\leq 0 για x>x_1
Αν h(x)=  0 για x>x_1
τότε f(x)=c>0 για x>x_1 που δίνει ΑΤΟΠΟ αφού f(x_1)=0 .
Αν υπάρχει x_2 με h(x_2)<0
τότε προκύπτει ότι f'(x)<0 για x_1<x<x_2
και έχουμε ΑΤΟΠΟ αφού f(x_1)=0 και f(x)>0 για x>x_1


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης