IMC 2019/1/5

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8179
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 2019/1/5

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 03, 2019 1:43 pm

Να εξεταστεί αν υπάρχει περιττός ακέραιος n και n \times n πίνακες A,B με ακέραια στοιχεία οι οποίοι ικανοποιούν όλες τις πιο κάτω συνθήκες:

1) \det(B) = 1.
2) AB = BA.
3) A^4 + 4A^2B^2 + 16B^4 = 2019I.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: IMC 2019/1/5

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Αύγ 18, 2019 4:51 pm

Εύκολα αποδεικνύεται το

Λήμμα: Για κάθε A, B \in M_m (\mathbb{Z}) και n \in \mathbb{Z} ισχύει \det(A+nB) \equiv \det(A) \mod n.

Λαμβάνοντας υπόψη την αντιμεταθετικότητα, η αρχική συνθήκη γράφεται ως MN = 2019I, όπου M = A^2 + 2AB + 4B^2, \ N = A^2 - 2AB + 4B^2. Έτσι, M-N = 4 A B και, από το λήμμα, \det(M) \equiv \det(N) \mod 4 \implies \det(MN) \equiv 0 \vee \det(MN) \equiv 1 \mod 4.

Αλλά \det(2019I) = 2019^n \equiv 3 \mod 4 για n περιττό, οπότε έχουμε άτοπο. Άρα δεν υπάρχουν οι πίνακες.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης