IMC 2018/1/5

#1

Έστω πρώτοι αριθμοί p,q

με

. Έστω κυρτό πολύγωνο $P_1,P_2,…,P_{pq}$ με όλες τις γωνίες του ίσες και όλες τις πλευρές του να έχουν διακεκριμένα ακέραια μήκη. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle P_1P_2+P_2P_3+\cdots +P_kP_{k+1}\geqslant \frac{k^3+k}{2}$

για κάθε $1\leqslant k\leqslant p$ .

#2

Γράφω

για το μήκος του $P_{i-1}P_{i}$ . $(0 \leqslant i \leqslant pq-1)$ . Γράφω επίσης $\omega = e^{2\pi i/q}$ .

Κάθε γωνιά του πολυγώνου ισούται με $\displaystyle \frac{(pq-2)\pi}{pq}$ οπότε οι εξωτερικές γωνιές ισούνται με $\frac{2\pi}{pq}$ .

Επομένως έχουμε $\displaystyle a_0 + a_1\omega + a_2 \omega^2 + \cdots + a_{pq-1}\omega^{pq-1} = 0$

Άρα το $\omega$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $P(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_{pq-1}x^{pq-1}$ . Το ελάχιστο πολυώνυμο του $\omega$ είναι το κυκλοτομικό πολυώνυμο $\Phi_{pq}(x)$ . Δηλαδή υπάρχει πολυώνυμο Q(x)

ώστε $P(x) = \Phi_{pq}(x)Q(x)$ . Από το λήμμα του Gauss, το Q(x)

έχει ακέραιους συντελεστές.

Έχουμε $\displaystyle \Phi_{pq}(x) = \frac{x^{pq}-1}{\Phi_1(x)\Phi_p(x)\Phi_q(x)} = \frac{x^{pq}-1}{(x^q-1)\Phi_p(x)}$

Σε τυπικές δυναμοσειρές έχουμε

$\displaystyle \frac{P(x)}{1-x^{pq}} = P(x)(1+x^{pq} + x^{2pq} + \cdots) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$

όπου οι δείκτες είναι modulo

.

Παίρνουμε λοιπόν ότι

$\displaystyle (1+x+x^2+\cdots + x^{p-1}) \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = (1+x^q+x^{2q}+\cdots)Q(x)$

Έχουμε δύο τυπικές δυναμοσειρές. Στην δεξιά οι συντελεστές, τουλάχιστον από ένα σημείο και μετά, επαναλαμβάνονται κάθε

όρους. Άρα το ίδιο συμβαίνει και στην αριστερή.

Δηλαδή για κάθε

θα έχουμε $a_n + \cdots + a_{n+p-1} = a_{n+rq} + \cdots + a_{n+rq+p-1}$ για κάθε φυσικό

. (Αυτό συμβαίνει σίγουρα από κάποιο

και μετά, άρα και για όλα τα

λόγω περιοδικότητας.

Επειδή

$a_n + \cdots + a_{n+p-1} = a_{n+rq} + \cdots + a_{n+rq+p-1}$

και

$a_{n+1} + \cdots + a_{n+p} = a_{n+rq+1} + \cdots + a_{n+rq+p}$

αφαιρώντας παίρνουμε $a_n - a_{n+p} = a_{n+rq} - a_{n+rq+p}$ . Επαγωγικά καταλήγουμε στο $a_n - a_{n+sp} = a_{n+rq} - a_{n+rq+sp}$ για κάθε r,s

.

Ισοδύναμα $a_n + a_{n+rq+sp} = a_{n+rq} + a_{n+sp}$ . Γράφοντας m = n+rq+sp

έχουμε

όπου $u = n+rq = m - sp \equiv m \bmod p$ και $u \equiv n \bmod q$ . Ομοίως $v \equiv m \bmod q$ και $v \equiv n \bmod p$ .

Για κάθε $1 \leqslant i < j \leqslant k$ παίρνουμε u= u(i,j),v = v(i,j)

ώστε

όπως στην πιο πάνω παράγραφο. Όμως από κάθε ένα από τα u,v

, τα

καθορίζονται πλήρως ακριβώς επειδή $k \leqslant p < q$ . Άρα όλα τα u(i,j),v(i,j)

είναι διαφορετικά ανά δύο. Μάλιστα είναι και διαφορετικά από τα $a_1,\ldots,a_k$ .

Έχουμε τώρα

$\displaystyle k(a_1 + \cdots +a_k) = (a_1 + \cdots + a_k) + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant k} (a_i + a_j) = (a_1 + \cdots + a_k) + \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant k} (a_{u(i,j)} + a_{v(i,j)})$

Το τελευταίο είναι άθροισμα $k + 2\binom{k}{2}$ διαφορετικών μεταξύ τους a_i

. Οπότε είναι μεγαλύτερο ή ίσο από $1 + 2 + \cdots + k^2 = \frac{k^2(k^2+1)}{2}$ .

Το ζητούμενο έπεται.

IMC 2018/1/5

IMC 2018/1/5

Re: IMC 2018/1/5

Μέλη σε σύνδεση