mathematica.gr

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2025
Θέματα της 1ης φάσης για την 9η τάξη, 16 Νοεμβρίου 2024

1. Στα τετράδια των Πέτρου, Βασίλη και Τόλη ήταν γραμμένος ο ίδιος δεκαψήφιος αριθμός. Ο καθένας τους στο τετράδιό του έσβησε μερικά ψηφία. Του Πέτρου του προέκυψε ο αριθμός , του Βασίλη ο . Μπορεί άραγε του Τόλη να προέκυψε ο αριθμός ;

2. Να βρείτε όλες τις τριάδες μη μηδενικών αριθμών ο καθένας εκ των οποίων είναι φορές μικρότερος από το άθροισμα των αντιστρόφων των άλλων δυο.

3. Στο τραπέζιο η διαγώνιος είναι ίση με την βάση , εξάλλου και . Να αποδείξετε ότι .

4. Τετραγωνισμένο ορθογώνιο περιμέτρου μπορεί να διαμεριστεί σε τετραγωνισμένα ορθογώνια, κανένα ζεύγος εκ των οποίων δεν είναι ίσα. Σε καθένα από αυτά υπάρχει πλευρά μήκους . Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του . Ορθογώνια, τα οποία διαφέρουν κατά περιστροφή, θεωρούνται ίσα.

5. Στην άπειρη αύξουσα ακολουθία μη μηδενικών φυσικών αριθμών οποιοιδήποτε δυο γειτονικοί αριθμοί διαφέρουν το πολύ κατά ένα εκατομμύριο. Αληθεύει άραγε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε ένα εκατομμύριο όρους αυτής της ακολουθίας έτσι, ώστε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να είναι μεγαλύτερος του ενός εκατομμυρίου;

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑

Τετ Δεκ 11, 2024 9:14 pm

1. Στα τετράδια των Πέτρου, Βασίλη και Τόλη ήταν γραμμένος ο ίδιος δεκαψήφιος αριθμός. Ο καθένας τους στο τετράδιό του έσβησε μερικά ψηφία. Του Πέτρου του προέκυψε ο αριθμός , του Βασίλη ο . Μπορεί άραγε του Τόλη να προέκυψε ο αριθμός ;

Αλέξανδρε, θα θεωρώ ότι με την φράση "ο αριθμός που προέκυψε αφού σβήσαμε κάποια ψηφία" σημαίνει ότι καταργούμε τα κενά που υπάρχουν στα ενδιάμεσα των αριθμών που μένουν, και κρατάμε τους αριθμούς ακριβώς με την διάταξη που είχαν στον αρχικό δεκαψήφιο.

Με αυτή την διεκρίνηση, η απάντηση είναι "όχι".

Πράγματι, στους αριθμούς του Πέτρου, του Βασίλη και του Τόλη βλέπουμε και τα ψηφία από το έως το , οπότε ο αρχικός δεκαψήφιος τα περιέχει όλα, από μία φορά το καθένα. Τώρα, από τον αριθμό του Πέτρου διαπιστώνουμε ότι το είναι αριστερότερα του . Επίσης από τον αριθμό του Βασίλη διαπιστώνουμε ότι το είναι αριστερότερα του . Άρα το είναι αριστερότερα του . Όμως αυτό δεν συμβαίνει με τον αριθμό του Τόλη. Άρα οι εν λόγω επιλογές είναι ασύμβατες με τα δεδομένα.

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑

Τετ Δεκ 11, 2024 9:14 pm

2. Να βρείτε όλες τις τριάδες μη μηδενικών αριθμών ο καθένας εκ των οποίων είναι φορές μικρότερος από το άθροισμα των αντιστρόφων των άλλων δυο.

Η εκφώνηση λέει και κυκλικά. 'Αρα

από όπου , και κυκλικά. Συγκρίνοντας τα (ίδια) αριστερά μέλη, έπεται . Άρα . Πίσω στην παίρνουμε , άρα . Έπεται ότι έχουμε δύο λύσεις, τις

και

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑

Τετ Δεκ 11, 2024 9:14 pm

5. Στην άπειρη αύξουσα ακολουθία μη μηδενικών φυσικών αριθμών οποιοιδήποτε δυο γειτονικοί αριθμοί διαφέρουν το πολύ κατά ένα εκατομμύριο. Αληθεύει άραγε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε ένα εκατομμύριο όρους αυτής της ακολουθίας έτσι, ώστε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους να είναι μεγαλύτερος του ενός εκατομμυρίου;

Αλέξανδρε, σίγουρα έχει αποδοθεί σωστά η μετάφραση; Το ρωτάω γιατί μου φαίνεται απόλυτα τετριμμένη η άσκηση, ενώ σε αυτόν τον διαγωνισμό τα θέματα είναι πάντα ζόρικα.

Απάντηση για αυτό που διαβάζω: Η απάντηση είναι "ναι". Πράγματι, παίρνουμε την ακολουθία , που είναι αύξουσα. Από αυτήν οι ένα εκατομμύριο όροι είναι όλοι πολλαπλάσια του πρώτου, άρα ο ΜΚΔ είναι . Τελειώσαμε.

Μήπως οι όροι που παίρνουμε πρέπει να είναι διαδοχικοί; Σε αυτή την περίπτωση βγαίνει εύκολα ότι η απάντηση είναι "όχι". Το αφήνω για την ώρα, για να μην κάνω υποθέσεις για την εκφώνηση.

Μήπως κάτι άλλο;

Καλησπέρα κ. Μιχάλη,

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Τετ Δεκ 11, 2024 10:03 pm

Αλέξανδρε, θα θεωρώ ότι με την φράση "ο αριθμός που προέκυψε αφού σβήσαμε κάποια ψηφία" σημαίνει ότι καταργούμε τα κενά που υπάρχουν στα ενδιάμεσα των αριθμών που μένουν, και κρατάμε τους αριθμούς ακριβώς με την διάταξη που είχαν στον αρχικό δεκαψήφιο.

Ναι, έτσι πρέπει να εκληφθεί νομίζω για να έχει νοήμα η άσκηση, αν και δεν διευκρινίζεται στην εκφώνηση. Η άσκηση έχει μεταφερθεί σωστά από το πρωτότυπο.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Τετ Δεκ 11, 2024 11:49 pm

Αλέξανδρε, σίγουρα έχει αποδοθεί σωστά η μετάφραση; Το ρωτάω γιατί μου φαίνεται απόλυτα τετριμμένη η άσκηση, ενώ σε αυτόν τον διαγωνισμό τα θέματα είναι πάντα ζόρικα.

Απάντηση για αυτό που διαβάζω: Η απάντηση είναι "ναι". Πράγματι, παίρνουμε την ακολουθία , που είναι αύξουσα. Από αυτήν οι ένα εκατομμύριο όροι είναι όλοι πολλαπλάσια του πρώτου, άρα ο ΜΚΔ είναι . Τελειώσαμε.

Μήπως οι όροι που παίρνουμε πρέπει να είναι διαδοχικοί; Σε αυτή την περίπτωση βγαίνει εύκολα ότι η απάντηση είναι "όχι". Το αφήνω για την ώρα, για να μην κάνω υποθέσεις για την εκφώνηση.

Μήπως κάτι άλλο;

Ναι, ακόμα και στην πρώτη φάση το 4ο και 5ο πρόβλημα είναι σχετικά δύσκολα συνήθως. Εδώ η άσκηση υπονοεί να εξετάσουμε αν αυτό ισχύει γενικά για οποιαδήποτε ακολουθία με αυτά τα χαρακτηριστικά και όχι να βρούμε μόνο ένα παράδειγμα. Πάλι όμως, δεν διευκρινίζεται στην εκφώνηση. Έχει μεταφερθεί και αυτή σωστά από το πρωτότυπο.

Υποθέτω ότι αυτές οι εύλογες διευκρινίσεις δίνονται και στους μαθητές κατά την διάρκεια της ολυμπιάδας. Παρ όλα αυτά, θα ήθελα να διατηρήσω τον χαρακτήρα του πρωτοτύπου της εκφώνησης. Δίνοντας έτσι κάπως την χροιά με την οποία τίθονται, διατυπώνονται αυτά και σε άλλες χώρες. Για παράδειγμα και στο πρόβλημα 3 λέει γενικά για αριθμούς, υπονοώντας πραγματικούς.

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑

Πέμ Δεκ 12, 2024 12:35 am

... Εδώ η άσκηση υπονοεί να εξετάσουμε αν αυτό ισχύει γενικά για οποιαδήποτε ακολουθία με αυτά τα χαρακτηριστικά και όχι να βρούμε μόνο ένα παράδειγμα...

Aλέξανδρε, έχεις δίκιο. Αυτό που λες είναι η σωστή ανάγνωση της άσκησης. Η λύση που έγραψα είναι παρανάγνωση της εκφώνησης.

Ευχαριστώ για την διευκρίνηση.

Συνεπώς η Άσκηση 5 είναι ακόμα ανοικτή.