Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1748
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Φεβ 10, 2024 4:52 pm

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση.
Θέματα της 2ης μέρας για την 10η τάξη. 1 Φεβρουαρίου 2024.


1. Ο Κωνσταντίνος ισχυρίζεται, ότι βρήκε διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς x,y,z τέτοιους, ώστε \dfrac{1}{x^2+x+1} +\dfrac{1}{y^2+y+1} +\dfrac{1}{z^2+z+1} =4 . Μπορεί άραγε να αληθεύει ο ισχυρισμός του Κωνσταντίνου; (Π. Κοζέβνικοβ, Άγνωστος)

2. Η Αθηνά ισχυρίζεται, ότι έγραψε 10 διαδοχικούς φυσικούς (μη μηδενικούς) αριθμούς και της προέκυψε, ότι μεταξύ όλων των ψηφίων που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτούς τους αριθμούς, το κάθε ψηφίο (από το 0 έως το 9) συναντάται τον ίδιο αριθμό φορών. Μπορεί άραγε ο ισχυρισμός της Αθηνάς να αληθεύει; (Π. Κοζέβνικοβ)

3. Δίνεται ένα τετράπλευρο ABCD, στο οποίο \angle A=\angle B=90^0. Είναι γνωστό, ότι οι κορυφές A και D μαζί με τα μέσα των πλευρών AB και BC είναι ομοκυκλικά. Να αποδείξετε, ότι κορυφές B και C μαζί με τα μέσα των πλευρών AD και DC θα είναι επίσης ομοκυκλικά. (Α. Κουζνέτσοβ)

4. Να βρείτε όλες τις τριάδες (όχι απαραίτητα διαφορετικών) μη μηδενικών φυσικών αριθμών a,b,c τέτοιων, ώστε κάθε ένας εκ των αριθμών a+bc, b+ca, c+ab να είναι πρώτος διαιρέτης του αριθμού (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1). (Α. Τσιρόνοβ, Ι. Μπογκντάνοβ)

5. Καθένας εκ των 2024 ατόμων είναι είτε ιππότης, είτε αυλικός. Μερικοί από αυτούς είναι φίλοι μεταξύ τους, η φιλία είναι αμοιβαία. Τον καθέναν τους τον ρώτησαν για τον αριθμό των φίλων του, και όλες οι απαντήσεις προέκυψαν διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί από το 0 έως το 2023. Είναι γνωστό, ότι όλοι οι ιππότες έδωσαν αληθή απάντηση στην ερώτηση, αλλά όλοι οι αυλικοί άλλαξαν την αληθή απάντηση ακριβώς κατά 1. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός αυλικών, που μπορεί να υπάρξει μεταξύ αυτών των ατόμων; (Ια. Σούμπιν, Γκ. Σούμπιν)



Λέξεις Κλειδιά:
vgreco
Δημοσιεύσεις: 66
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 19, 2022 6:22 pm

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vgreco » Σάβ Φεβ 10, 2024 9:01 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2024 4:52 pm
1. Ο Κωνσταντίνος ισχυρίζεται, ότι βρήκε διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς x,y,z τέτοιους, ώστε \dfrac{1}{x^2+x+1} +\dfrac{1}{y^2+y+1} +\dfrac{1}{z^2+z+1} =4 . Μπορεί άραγε να αληθεύει ο ισχυρισμός του Κωνσταντίνου; (Π. Κοζέβνικοβ, Άγνωστος)
Ο ισχυρισμός του Κωνσταντίνου είναι ψευδής.

Πράγματι, παρατηρώ πως:

\displaystyle{ 
x^2 + x + 1 = \Biggl( x + \dfrac{1}{2} \Biggr)^2 + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4} 
\overset{x^2 \; + \; x \; + \; 1 \; > \; 0}{\Leftarrow\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} 
\dfrac{1}{x^2 + x + 1} \le \dfrac{4}{3} 
}

με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν x = -\dfrac{1}{2}. Επομένως:

\displaystyle{ 
\dfrac{1}{x^2 + x + 1} + \dfrac{1}{y^2 + y + 1} + \dfrac{1}{z^2 + z + 1} \le \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3} = 4  
}

με την ισότητα να ισχύει όταν x = y = z = -\dfrac{1}{2}, πράγμα άτοπο, αφού οι x, y, z είναι διαφορετικοί ανά δύο.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 1100
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Σάβ Φεβ 10, 2024 9:55 pm

Ίσως να μην έχω καταλάβει κάτι στο παρακάτω αλλά ένα παράδειγμα είναι ο 1023456789 .
Κάτι μάλλον απλοϊκό για διαγωνισμό. :!:

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2024 4:52 pm
2. Η Αθηνά ισχυρίζεται, ότι έγραψε 10 διαδοχικούς φυσικούς (μη μηδενικούς) αριθμούς και της προέκυψε, ότι μεταξύ όλων των ψηφίων που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτούς τους αριθμούς, το κάθε ψηφίο (από το 0 έως το 9) συναντάται τον ίδιο αριθμό φορών. Μπορεί άραγε ο ισχυρισμός της Αθηνάς να αληθεύει; (Π. Κοζέβνικοβ)


Άβαταρ μέλους
abfx
Δημοσιεύσεις: 51
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2022 12:23 pm

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abfx » Σάβ Φεβ 10, 2024 10:30 pm

mick7 έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2024 9:55 pm
Ίσως να μην έχω καταλάβει κάτι στο παρακάτω αλλά ένα παράδειγμα είναι ο 1023456789 .
Κάτι μάλλον απλοϊκό για διαγωνισμό. :!:
Καλησπέρα.

Ακριβέστερα έχουμε τους διαδοχικούς 10234567890 , 10234567891 , \ldots ,10234567899 . Τα ψηφία 1,0,2,3,4,5,6,7,8,9 χρησιμοποιούνται στην αρχή σε κάθε έναν από τους αριθμούς, ενώ καθένα από αυτά εμφανίζεται άλλη μια φορά ως τελευταίο ψηφίο. Δηλαδή όλα χρησιμοποιούνται από 11 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 1100
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Δευ Φεβ 19, 2024 10:07 pm

Ευχαριστώ τώρα το καταλαβα. Δηλαδή είναι οι Χ0,Χ1,Χ2,Χ3,Χ4,Χ5,Χ6,Χ7,Χ8,Χ9 όπου X=1023456789.

Αλλά είναι μόνο αυτός η βάση X η όλοι οι συνδυασμοί των ψηφίων απο 0 έως 9 χωρίς το 0 στην πρώτη θέση...?

abfx έγραψε:
Σάβ Φεβ 10, 2024 10:30 pm
Καλησπέρα.

Ακριβέστερα έχουμε τους διαδοχικούς 10234567890 , 10234567891 , \ldots ,10234567899 . Τα ψηφία 1,0,2,3,4,5,6,7,8,9 χρησιμοποιούνται στην αρχή σε κάθε έναν από τους αριθμούς, ενώ καθένα από αυτά εμφανίζεται άλλη μια φορά ως τελευταίο ψηφίο. Δηλαδή όλα χρησιμοποιούνται από 11 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
abfx
Δημοσιεύσεις: 51
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2022 12:23 pm

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 2η μέρα)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abfx » Δευ Φεβ 19, 2024 11:26 pm

mick7 έγραψε:
Δευ Φεβ 19, 2024 10:07 pm
Ευχαριστώ τώρα το καταλαβα. Δηλαδή είναι οι Χ0,Χ1,Χ2,Χ3,Χ4,Χ5,Χ6,Χ7,Χ8,Χ9 όπου X=1023456789.

Αλλά είναι μόνο αυτός η βάση X η όλοι οι συνδυασμοί των ψηφίων απο 0 έως 9 χωρίς το 0 στην πρώτη θέση...?
Φυσικά και η X=1023456789 δεν είναι μοναδική επιλογή για το X . Όπως σωστά γράφετε μπορούμε να αναδιατάξουμε τα

ψηφία 0,\ldots ,9 , με τρόπο ώστε το 0 να μη βρίσκεται στην πρώτη θέση. Παραδείγματος χάριν X=5764890231 .

Στην πραγματικότητα, υπάρχουν άπειρες ακόμα επιλογές για το X: μπορούμε να επαναλάβουμε αυτήν τη δεκάδα ψηφίων

όσες φορές θέλουμε. Για παράδειγμα X=10234567891023456789 ή X=11002233445566778899.

Ενδιαφέρον έχει τώρα το ερώτημα (δεν έχω απάντηση) αν όλα τα παραδείγματα είναι αυτής της μορφής, δηλαδή \overline{X0},\overline{X1},\ldots,\overline{X9} για κατάλληλο X (ή ισοδύναμα της μορφής 10k,10k+1,\dots ,10k+9).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: andrei.eckstein και 3 επισκέπτες