Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1748
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Φεβ 03, 2024 3:32 pm

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση.
Θέματα της 1ης μέρας για την 11η τάξη. 31 Ιανουαρίου 2024.


1. Ο Χάρης έχει μια συλλογή από 2024 διαφορετικά τετραγωνισμένα ορθογώνια διαστάσεων 1 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3,  \ldots, 1 \times 2024 (από ένα ορθογώνιο κάθε μεγέθους). Μπορεί άραγε, διαλέγοντας μερικά από αυτά, να σχηματίσει κάποιο τετραγωνισμένο τετράγωνο εμβαδού μεγαλύτερου του 1; (Ο. Ποντλίνσκϊι)

2. Έστω x_{1} <  x_{2} <  \dots < x_{2024} μια αύξουσα ακολουθία θετικών ακέραιων. Για i=1, 2, \dots , 2024 ορίζουμε p_{i}= \left ( x_{1}-\dfrac{1}{x_{1}}\right ) \left ( x_{2}-\dfrac{1}{x_{2}}\right ) \ldots \left ( x_{i}-\dfrac{1}{x_{i}}\right ). Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος θετικών ακέραιων, που μπορεί να εμφανίζονται μεταξύ των αριθμών p_{i}, p_{2}, \ldots, p_{2024}; (Ν. Αγκαχάνοβ)

3. Σε ένα κύκλο βρίσκονται 100 λευκά σημεία. Η Άννα και ο Κώστας χρωματίζουν με την σειρά από ένα μη χρωματισμένο ήδη σημείο με κόκκινο ή μπλε χρώμα, ξεκινάει η Άννα. Η Άννα θέλει να προκύψουν όσο το δυνατό περισσότερα ζεύγη γειτονικών σημείων διαφορετικού χρώματος και ο Κώστας να προκύψουν όσο το δυνατό λιγότερα. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός ζευγών σημείων διαφορετικού χρώματος, που μπορεί να εξασφαλίσει η Άννα ανεξάρτητα το τι θα πράξει ο Κώστας; (Π. Κοζέβνικοβ)

4. Με διάμετρο το τμήμα XY κατασκευάζουμε ημικύκλιο και διαλέγουμε τυχαίο σημείο Z σε αυτό το τμήμα. Εννέα ημιευθείες με αρχή το σημείο Z διαιρούν την ευθεία γωνία XZY σε δέκα ίσα μέρη (γωνίες) και τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία A_{1}, A_{2}, \dots , A_{9} αντίστοιχα (με διάταξη από το X προς Y). Να αποδείξετε, ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων A_{2}ZA_{3} και A_{7}ZA_{8} είναι ίσο με το εμβαδόν του τετράπλευρου A_{2}A_{3}A_{7}A_{8}. (Μ. Ευδοκίμοβ)

5. Η εξίσωση t^4+at^3+bt^2=(a+b)(2t-1) έχει θετικές ρίζες t_{1}<t_{2}<t_{3}<t_{4}. Να αποδείξετε, ότι t_{1}t_{4} > t_{2}t_{3}. (Μ. Αντίποβ)



Λέξεις Κλειδιά:
Πάνος Κωνσταντόπουλος
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 22, 2023 2:38 pm

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πάνος Κωνσταντόπουλος » Σάβ Φεβ 10, 2024 5:08 pm

3. Σε ένα κύκλο βρίσκονται 100 λευκά σημεία. Η Άννα και ο Κώστας χρωματίζουν με την σειρά από ένα μη χρωματισμένο ήδη σημείο με κόκκινο ή μπλε χρώμα, ξεκινάει η Άννα. Η Άννα θέλει να προκύψουν όσο το δυνατό περισσότερα ζεύγη γειτονικών σημείων διαφορετικού χρώματος και ο Κώστας να προκύψουν όσο το δυνατό λιγότερα. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός ζευγών σημείων διαφορετικού χρώματος, που μπορεί να εξασφαλίσει η Άννα ανεξάρτητα το τι θα πράξει ο Κώστας; (Π. Κοζέβνικοβ)
Ονομάζω νησί μπλε σημείων διαδοχικά μπλε σημεία, ώστε δεξιά του δεξιότερου και αριστερά του αριστερότερο σημείου του νησιού να έχω κόκκινο σημείο. Τότε τα ζεύγη γειτονικών σημείων διαφορετικού χρώματος έστω n θα είναι διπλάσια από τον αριθμό των νησιών, διότι για κάθε νησί το δεξιότερο του σημείο και το σημείο δεξιά του αποτελούν σημεία διαφορετικού χρώματος και όμοια για το αριστερότερο. Άρα ο n άρτιος.
Θα δείξω ότι η Άννα μπορεί να επιτύχει τουλάχιστον 50 ζεύγη σημείων διαφορετικού χρώματος. Πράγματι κάθε φορά που χρωματίζει σημείο εκτός από την πρώτη κίνησής της επιλέγει ένα λευκό σημείο που γειτονεύει με ένα χρωματισμένο και το χρωματίζει με διαφορετικό χρώμα. Άρα αφού κάνει ακριβώς 49 κινήσεις μετά την πρώτη της κίνηση 49 \leq n. Όμως ο n άρτιος άρα 50 \leq n.
Για να δείξω ότι το 50 είναι και ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να επιτευχθεί αρκεί να δείξω ότι με κατάλληλες κινήσεις του Κώστα μπορούν να δημιουργηθούν το πολύ 25 νησιά δηλαδή το πολύ 50 ζεύγη σημείων διαφορετικού χρώματος.
Χωρίζω τα 100 σημεία σε 25 τετράδες διαδοχικών σημείων και ας ονομάσουμε αρχή ενός μπλε νησιού το αριστερότερό του σημείο. Ο Κώστας πρέπει να σιγουρευτεί ότι σε κάθε τετράδα διαδοχικών σημείων ανήκει το πολύ μία αρχή μπλε νησιού. Αυτό επιτυγχάνεται αν οποτεδήποτε η Άννα χρωματίζει ένα σημείο μίας τετράδας ο Κώστας να χρωματίζει ένα διπλάνο του σημείο της ίδιας τετράδας το ίδιο χρώμα. Έτσι στην τετράδα αυτή όλα τα μπλε σημεία θα είναι διαδοχικά άρα μόνο το αριστερότερο ίσως αποτελεί αρχή μπλε νησιού. Αφού η Άννα παίζει πρώτη και ο Κώστας χρωματίζει στην ίδια τετράδα που χρωμάτισε η Άννα στην προηγούμενή της κίνηση, πράγματι δημιουργούνται το πολύ 25 νησιά και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


vgreco
Δημοσιεύσεις: 66
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 19, 2022 6:22 pm

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vgreco » Κυρ Φεβ 11, 2024 2:17 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Φεβ 03, 2024 3:32 pm
4. Με διάμετρο το τμήμα XY κατασκευάζουμε ημικύκλιο και διαλέγουμε τυχαίο σημείο Z σε αυτό το τμήμα. Εννέα ημιευθείες με αρχή το σημείο Z διαιρούν την ευθεία γωνία XZY σε δέκα ίσα μέρη (γωνίες) και τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία A_{1}, A_{2}, \dots , A_{9} αντίστοιχα (με διάταξη από το X προς Y). Να αποδείξετε, ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων A_{2}ZA_{3} και A_{7}ZA_{8} είναι ίσο με το εμβαδόν του τετράπλευρου A_{2}A_{3}A_{7}A_{8}. (Μ. Ευδοκίμοβ)
geo_rus_11-2024.png
geo_rus_11-2024.png (26.72 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές
Έστω C \equiv A_3 A_8 \cap A_2 A_7, όπως στο σχήμα. Αρκεί να δείξω πως \bigl( A_2 A_8 Z \bigr) = \bigl( A_3 A_7 Z \bigr).

Εύκολα προκύπτει πως \widehat{A_7 C A_8} = 18^\circ, άρα το A_7 A_8 Z C είναι εγγράψιμο και ως εκ τούτου \widehat{A_3 A_8 Z} = \widehat{A_2 A_7 Z}. Επομένως:

\displaystyle{ 
\left. 
    \begin{aligned} 
        \overset{\triangle}{A_3 A_8 Z}: \tan \widehat{A_3 A_8 Z} = \dfrac{A_3 Z}{A_8 Z} \\[0.2in] 
        \overset{\triangle}{A_2 A_7 Z}: \tan \widehat{A_2 A_7 Z} = \dfrac{A_2 Z}{A_7 Z} \\[0.05in] 
    \end{aligned} 
\right\} 
\overset{\widehat{A_3 A_8 Z} \; = \; \widehat{A_2 A_7 Z}}{=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel=\joinrel\Rightarrow} 
\dfrac{A_3 Z}{A_8 Z} = \dfrac{A_2 Z}{A_7 Z} \Leftrightarrow \boxed{A_3 Z \cdot A_7 Z = A_2 Z \cdot A_8 Z} \quad (1) 
}

Τέλος, παρατηρώ ότι οι γωνίες \widehat{Z} των τριγώνων A_2 A_8 Z και A_3 A_7 Z είναι παραπληρωματικές, και έτσι:

\displaystyle{ 
\dfrac{\bigl( A_2 A_8 Z \bigr)}{\bigl( A_3 A_7 Z \bigr)} = \dfrac{A_2 Z \cdot A_8 Z}{A_3 Z \cdot A_7 Z} 
\overset{(1)}{\Leftarrow \joinrel=\joinrel \Rightarrow} 
\dfrac{\bigl( A_2 A_8 Z \bigr)}{\bigl( A_3 A_7 Z \bigr)} = 1 
\Leftrightarrow \boxed{ \bigl( A_2 A_8 Z \bigr) = \bigl( A_3 A_7 Z \bigr) } 
}

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης