ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4107
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Μια και πέρασε ο χρόνος διεξαγωγής του διαγωνισμού ανεβάζω τα σημερινά θέματα του διαγωνισμού για να σχολιάσουμε τις λύσεις τους εδώ.
Καλά αποτελέσματα σε όλους τους υποψηφίους
Αλέξανδρος
Καλά αποτελέσματα σε όλους τους υποψηφίους
Αλέξανδρος
- Συνημμένα
-
- ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023_24_εκφωνήσεις_Τ1 (1).pdf
- (356.98 KiB) Μεταφορτώθηκε 621 φορές
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Λέξεις Κλειδιά:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Ωραία θεματακια παιδιά! Έρχομαι σε λίγο με τις λύσεις..Καλή επιτυχία σε όλους !!
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Έδωσα σήμερα Γ Λυκείου. Πολύ ωραία τα θέματα. Το 4ο θεωρώ δυσκολότερο από τα άλλα. Ξέρει κανένας περίπου στο πόσο διαμορφώνεται η βάση για τον Αρχιμίδη;
-
- Δημοσιεύσεις: 795
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Ωραία θέματα και τα σημερινά! Συγχαρητήρια στην επιτροπή. Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά!
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Καλά αποτελέσματα. Στο συνημμένο είναι οι λύσεις από την Ε.Μ.Ε.
http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... 1_2024.pdf
http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... 1_2024.pdf
Μαραντιδης Φωτης
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4107
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Α Λυκείου
Πρόβλημα 1
Είναι
άρα ο είναι σύνθετος αφού αποτελείται από γινόμενο δύο παραγόντων κάθενας από τους οποίους είναι .
Πρόβλημα 2
Έστω το σημείο τομής των και . Τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα (απλό) άρα άρα το τετράπλευρο CTBK είναι εγγράψιμο οπότε συνεπώς στο τρίγωνο το είναι το ορθόκεντρο, άρα .
Πρόβλημα 3
Θέλουμε . Αφαιρώντας τις πρώτες κατά μέλη παίρνουμε και αφού είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, άρα δηλαδή .
Αντικαθιστώντας την στην παίρνουμε απ΄όπου καταλήγουμε στην εξίσωση που δεν έχει πραγματικές λύσεις. Άρα δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί.
Πρόβλημα 4
Αρχικά . Όμοια και οπότε αντικαθιστώντας στην παράσταση παίρνουμε
Από τις αρχικές σχέσεις πρέπει οι αριθμοί να είναι όλοι θετικοί ή όλοι αρνητικοί. Το δεύτερο απορρίπτεται γιατί τότε το άθροισμά τους θα ήταν αρνητικό που είναι άτοπο διότι το άθροισμά τους είναι .
Γ Λυκείου
Πρόβλημα 2
Λόγω κυκλικότητας του συστήματος μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάποιος από τους είναι ο μεγαλύτερος, έστω ο .
Αν ήταν τότε και άρα απ' όπου παίρνουμε δηλαδή και σε συνδυασμό με την έχουμε τελικά .
Αν ήταν τότε και απ' όπου παίρνουμε δηλαδή οπότε απ' όπου και πάλι παίρνουμε .
Άρα η αρχική εξίσωση γίνεται δηλαδή ή ή οπότε τελικά οι λύσεις της εξίσωσης είναι .
Αλέξανδρος
Πρόβλημα 1
Είναι
άρα ο είναι σύνθετος αφού αποτελείται από γινόμενο δύο παραγόντων κάθενας από τους οποίους είναι .
Πρόβλημα 2
Έστω το σημείο τομής των και . Τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα (απλό) άρα άρα το τετράπλευρο CTBK είναι εγγράψιμο οπότε συνεπώς στο τρίγωνο το είναι το ορθόκεντρο, άρα .
Πρόβλημα 3
Θέλουμε . Αφαιρώντας τις πρώτες κατά μέλη παίρνουμε και αφού είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, άρα δηλαδή .
Αντικαθιστώντας την στην παίρνουμε απ΄όπου καταλήγουμε στην εξίσωση που δεν έχει πραγματικές λύσεις. Άρα δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί.
Πρόβλημα 4
Αρχικά . Όμοια και οπότε αντικαθιστώντας στην παράσταση παίρνουμε
Από τις αρχικές σχέσεις πρέπει οι αριθμοί να είναι όλοι θετικοί ή όλοι αρνητικοί. Το δεύτερο απορρίπτεται γιατί τότε το άθροισμά τους θα ήταν αρνητικό που είναι άτοπο διότι το άθροισμά τους είναι .
Γ Λυκείου
Πρόβλημα 2
Λόγω κυκλικότητας του συστήματος μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάποιος από τους είναι ο μεγαλύτερος, έστω ο .
Αν ήταν τότε και άρα απ' όπου παίρνουμε δηλαδή και σε συνδυασμό με την έχουμε τελικά .
Αν ήταν τότε και απ' όπου παίρνουμε δηλαδή οπότε απ' όπου και πάλι παίρνουμε .
Άρα η αρχική εξίσωση γίνεται δηλαδή ή ή οπότε τελικά οι λύσεις της εξίσωσης είναι .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Πρόβλημα 1- γ λυκείου. Είναι και αφού μέσα των αντίστοιχα, άρα Επομένως Αφού , τελικά που ολοκληρώνει την απόδειξη.
- elenipappa
- Δημοσιεύσεις: 10
- Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 01, 2021 8:42 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Η λύση μου στο Π2 Α' λυκείου
Παρατηρούμε ότι το είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος .Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με . Επίσης, παρατηρούμε ότι , αφού σημείο της μεσοκαθέτου. Όμως, η είναι διχοτόμος της . Επίσης, τα τρίγωνα (με σημέιο τομης της με την ) και (με σημείο τομής της με την )είναι ίσα (ΓΠΓ). Άρα προκύπτει ότι . Άρα, . Ακόμα, προκύπτει ότι . Έτσι, αφού το είναι σημέιο της διχοτόμου , τότε . Άρα η είναι κάθετη στην .
Παρατηρούμε ότι το είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος .Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με . Επίσης, παρατηρούμε ότι , αφού σημείο της μεσοκαθέτου. Όμως, η είναι διχοτόμος της . Επίσης, τα τρίγωνα (με σημέιο τομης της με την ) και (με σημείο τομής της με την )είναι ίσα (ΓΠΓ). Άρα προκύπτει ότι . Άρα, . Ακόμα, προκύπτει ότι . Έτσι, αφού το είναι σημέιο της διχοτόμου , τότε . Άρα η είναι κάθετη στην .
Wer wagt, gewinnt
- Lymperis Karras
- Δημοσιεύσεις: 170
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 06, 2020 5:16 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Προβλημα 3, Γ Λυκείου:
Εύκολα παίρνουμε ότι το είναι το ορθόκεντρο των . Έτσι κάθετη στην και κάθετη στην . Έτσι το είναι ορθόκεντρο του και το ζητούμενο έπεται.
Εύκολα παίρνουμε ότι το είναι το ορθόκεντρο των . Έτσι κάθετη στην και κάθετη στην . Έτσι το είναι ορθόκεντρο του και το ζητούμενο έπεται.
Ένας μαθηματικός χρειάζεται μολύβι, γόμα και μεγάλο καλάθι αχρήστων.
-Hilbert
-Hilbert
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Πρόβλημα 4-γ λυκείου. Είναι και καλούμαστε να αποδείξουμε ότι ο αριθμός είναι ακέραιος. Ειναι Όμως, ο είναι παράγοντας του , που ολοκληρώνει την απόδειξη.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Kavousianos Ioannis έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 20, 2024 2:55 pmΜήπως ξέρει κανείς αν η βάση στην Β γυμνασιου θα είναι από 15 και κάτω?
Οποιαδήποτε εκτίμηση για τις βάσεις είναι άκαιρη. Κατ'επανάληψη έχουμε επισημάνει ότι τέτοια ερωτήματα δεν έχουν νόημα και με έκπληξη βλέπουμε να επαναμβάνονται κάθε φορά.
Συγχαίρουμε όλους τους μαθητές και τις μαθήτριες για τη συμμετοχή τους στον "ΕΥΚΛΕΙΔΗ", τους προτρέπουμε να απέχουν από όποιες συζητήσεις για τις βάσεις - εκτός από τους επικεφαλής της επιτροπής της ΕΜΕ μετά το τέλος της βαθμολόγησης, κανείς άλλος δεν γνωρίζει τις βάσεις- και τους ενθαρρύνουμε να συνεχίσουν την ενασχόληση τους με τα μαθηματικά από αγάπη γι'αυτά και ανεξάρτητα από τα αποτελέσματα του σημερινού διαγωνισμού.
Φιλικά,
Αχιλλέας
-
- Δημοσιεύσεις: 12
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 03, 2022 2:44 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Στο 3ο θέμα της Α λυκείου, μπορούμε και αλλιώς. Παίρνουμε και . Τελικά , άτοπο. done.
τελευταία επεξεργασία από Dimessi σε Σάβ Ιαν 20, 2024 3:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Μια διδακτική λύση με διαφορά τετραγώνων, την οποία ο μέσος μαθητής διδάσκεται στη Γ Γυμνασίου, αλλά ο μυημένος στους μαθηματικούς διαγωνισμούς την γνωρίζει ήδη:
Λύση. (α) Είναι .
(β) Για , είναι
Οπότε διαιρώντας και τα δύο μέλη με το 2 παίρνουμε
Με παιρνουμε
Φιλικά,
Αχιλλέας
Μια διδακτική λύση με διαφορά τετραγώνων, την οποία ο μέσος μαθητής διδάσκεται στη Γ Γυμνασίου, αλλά ο μυημένος στους μαθηματικούς διαγωνισμούς την γνωρίζει ήδη:
Λύση. (α) Είναι .
(β) Για , είναι
Οπότε διαιρώντας και τα δύο μέλη με το 2 παίρνουμε
Με παιρνουμε
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1868
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Α' Λυκείου.
Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι το πηλίκο
είναι σύνθετος ακέραιος, για κάθε ακέραιο .
Λύση.
Εκτελούμε την διαίρεση των πολυωνύμων του αριθμητή προς τον παρονομαστή του ζητούμενου κλάσματος και βρίσκουμε:
.
Οπότε η ζητούμενη παράσταση γράφεται
Η οποία ως γινόμενο δυο παραγόντων μεγαλύτερων του είναι σύνθετος αριθμός.
Πρόβλημα 1. Να αποδείξετε ότι το πηλίκο
είναι σύνθετος ακέραιος, για κάθε ακέραιο .
Λύση.
Εκτελούμε την διαίρεση των πολυωνύμων του αριθμητή προς τον παρονομαστή του ζητούμενου κλάσματος και βρίσκουμε:
.
Οπότε η ζητούμενη παράσταση γράφεται
Η οποία ως γινόμενο δυο παραγόντων μεγαλύτερων του είναι σύνθετος αριθμός.
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Δεν ξέρω για τις άλλες τάξεις, αλλά τα θέματα της Γ Γυμνασιου δεν μου άρεσαν καθόλου. Ήταν πάρα πολύ διαφορετικά σε σχέση με τα παλαιότερα και προσωπικά τα βαρέθηκα.Προετοιμάζομαι από το καλοκαίρι σταδιακά, έχω λύσει πολλες ασκήσεις αλλά τέτοια θέματα δε συνάντησα καθόλου.Θεωρω ίσως πως το 3ο θέμα έπρεπε να το ασχοληθώ περισσότερο γτ μπορούσα να το πιάσω όλο όπως και το πρώτο (χαζομαρα γτ κόλλησα στο 2ο το οποίο τελικά δεν έλυσα) Θέλω ωστόσο να κάνω μια ερώτηση. Οι λύσεις που βγαίνουν είναι οπωσδήποτε αυτές, ή υπάρχουν και άλλες μεθοδολογίες και τρόποι που μπορούν να οδηγήσουν στα ίδια αποτελέσματα οι οποίες πιάνονται? Και εάν δεν έχουμε καταλήξει σε ένα αποτέλεσμα αλλά έχουμε χτίσει ένα κομμάτι της μεθοδολογίας, θα πιαστεί?
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13623
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Πρόβλημα 2 - Β' Λυκείου:
Προφανώς το ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου Άρα: και το ζητούμενο έπεται.
Προφανώς το ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου Άρα: και το ζητούμενο έπεται.
-
- Δημοσιεύσεις: 795
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Νομίζω στις επίσημες λύσεις το τελικό αποτέλεσμα έχει λάθος στο θέμα γεωμετρίας της Β' γυμνασίου
-
- Δημοσιεύσεις: 795
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Καλησπέρα. Οι λύσεις είναι ενδεικτικές και εννοείται οποιαδήποτε άλλη λογίζεται ως σωστή, αρκεί να είναι. Από εκεί και πέρα όντως τα θέματα της Γ' Γυμνασίου ήταν λίγο "διαφορετικά" αλλά αυτή δεν είναι άλλωστε και η ομορφιά των διαγωνισμών; Όπως και να έχει η δυσκολία είναι ίδια για όλους οπότε κάντε υπομονή μέχρι να βγουν τα αποτελέσματα για να δείτε πως πήγατε . Συνέχισε την προσπάθειά σου πάντως γιατί μόνο κερδισμένος- κερδισμένη έχεις να βγεις από την όλη διαδικασία!AnnM έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 20, 2024 5:24 pmΔεν ξέρω για τις άλλες τάξεις, αλλά τα θέματα της Γ Γυμνασιου δεν μου άρεσαν καθόλου. Ήταν πάρα πολύ διαφορετικά σε σχέση με τα παλαιότερα και προσωπικά τα βαρέθηκα.Προετοιμάζομαι από το καλοκαίρι σταδιακά, έχω λύσει πολλες ασκήσεις αλλά τέτοια θέματα δε συνάντησα καθόλου.Θεωρω ίσως πως το 3ο θέμα έπρεπε να το ασχοληθώ περισσότερο γτ μπορούσα να το πιάσω όλο όπως και το πρώτο (χαζομαρα γτ κόλλησα στο 2ο το οποίο τελικά δεν έλυσα) Θέλω ωστόσο να κάνω μια ερώτηση. Οι λύσεις που βγαίνουν είναι οπωσδήποτε αυτές, ή υπάρχουν και άλλες μεθοδολογίες και τρόποι που μπορούν να οδηγήσουν στα ίδια αποτελέσματα οι οποίες πιάνονται? Και εάν δεν έχουμε καταλήξει σε ένα αποτέλεσμα αλλά έχουμε χτίσει ένα κομμάτι της μεθοδολογίας, θα πιαστεί?
Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024
Πρόκειται για τυπογραφικό λάθος, όχι μαθηματικό, το οποίο θα διορθωθεί σύντομα: .Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 20, 2024 5:40 pmΝομίζω στις επίσημες λύσεις το τελικό αποτέλεσμα έχει λάθος στο θέμα γεωμετρίας της Β' γυμνασίου
No big deal!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 2 επισκέπτες