ΘΑΛΗΣ 2023

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

ΘΑΛΗΣ 2023

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Σάβ Νοέμ 04, 2023 12:23 pm

Καλημέρα, καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά! :D Αν θέλει κάποιος, ανεβάζει τα θέματα και τα λύνουμε :)



Λέξεις Κλειδιά:
Παπαδόπουλος Κώστας
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:32 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παπαδόπουλος Κώστας » Σάβ Νοέμ 04, 2023 12:44 pm

Καλημέρα κύριε Κώστα!Έχω μια απορία στο θέμα 3 Α λυκείου το οποίο το παραθέτω:
ΝΑ ΕΞΕΤΑΣΕΤΕ ΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΘΕΤΙΚΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ n ΤΕΤΟΙΟΣ, ΩΣΤΕ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Α=2023\cdot 10^{n} + 1
ΝΑ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ.


Παπαδόπουλος Κώστας
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:32 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παπαδόπουλος Κώστας » Σάβ Νοέμ 04, 2023 12:48 pm

Στην ουσία προσωπίκα πήρα περίπτωση για n =0 όπου Α=2024 ο οποιος δεν είναι τετράγωνο ακέραιου αριθμού. Και μέτα είπα πως στην ουσια για οποιαδήποτε τιμή του n o Α θα είναι πάντα περιττός. Άρα δεν υπάρχει τέτοιος n.( Δεν γνωρίζω καν αν είναι σωστός ο συλογισμός μου απλως τον παραθέτω με λίγα λόγια)


Παπαδόπουλος Κώστας
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:32 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παπαδόπουλος Κώστας » Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:23 pm

Επίσης, έχω και έναν ενδοιασμό πάνω στο θέμα 4 Α λυκείου.
Σε ένα κύκλο c(O,R) θεωρούμε τα σημεία Α,Β,Γ, και Δ τέτοια ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι ισοσκελές τραπέζιο με ΑΒ//ΔΓ. Έστω Ε το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας \widehat{A} του τραπεζίου με τον κύκλο c(O,R). Αν η παράλληλη από το Ε στην ΔΓ τέμνει την ευθεία ΒΓ στο Ζ, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΟΖ είναι κάθετη στην ΕΓ.


Άβαταρ μέλους
∫ot.T.
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 23, 2023 4:21 pm
Τοποθεσία: Λουτράκι

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ∫ot.T. » Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:26 pm

Παπαδόπουλος Κώστας έγραψε:
Σάβ Νοέμ 04, 2023 12:48 pm
Στην ουσία προσωπίκα πήρα περίπτωση για n =0 όπου Α=2024 ο οποιος δεν είναι τετράγωνο ακέραιου αριθμού. Και μέτα είπα πως στην ουσια για οποιαδήποτε τιμή του n o Α θα είναι πάντα περιττός. Άρα δεν υπάρχει τέτοιος n.( Δεν γνωρίζω καν αν είναι σωστός ο συλογισμός μου απλως τον παραθέτω με λίγα λόγια)
Μπορεί ένα τετράγωνο να είναι περιττό, οπότε δεν μπορούμε να αποκλείσουμε τα άλλα n.
Παραθέτω εν συντομία την δική μου λύση στο θέμα.

Έστω α ο αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι το Α.
a-1=k_{1}\cdot 2^{m_{1}}\cdot 5^{l_{1}}
a+1=k_{2}\cdot 2^{m_{2}}\cdot 5^{l_{2}}
Με k_{1}k_{2}=2023 και m_{1}+m_{2}=n και l_{1}+l_{2}=n

Αφαιρώντας προκύπτει πώς
max(m_{1},m_{2})=n-1 ή m_{1}=m_{2}=\frac{n}{2}, που οδηγεί στο n=0, άτοπο.

Παίρνοντας στην πρώτη περίπτωση mod5 μετά από πράξεις προκύπτει ότι μόνο το n=2 μπορεί να είναι λύση.
Αλλά το 202301 δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
τελευταία επεξεργασία από ∫ot.T. σε Πέμ Νοέμ 09, 2023 10:54 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
Άβαταρ μέλους
∫ot.T.
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 23, 2023 4:21 pm
Τοποθεσία: Λουτράκι

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ∫ot.T. » Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:29 pm

Για το τέταρτο θέμα θα αποδείξουμε ότι ΕΖ = ΖΓ
Παραθέτω το σχήμα μου για βοήθεια.
Συνημμένα
geogebra-export-3.png
geogebra-export-3.png (479.99 KiB) Προβλήθηκε 4183 φορές
τελευταία επεξεργασία από ∫ot.T. σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 778
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:41 pm

Καλά είναι να περιμένουμε πριν αναρτήσουμε τα θέματα....Μπορεί η επιτροπή να μην το επιτρέπει!


Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:42 pm

Στο θέμα Γ έχει ένα θεματάκι η απόδειξη του Σωτήρη. Το 10 δεν είναι πρώτος, οπότε δεν μπορεί να θεωρήσει αυτό που λέει. (υπάρχει απόδειξη σχετικά απλή για την άσκηση αυτή, αλλά όχι για Α λυκείου).
Όσο για την γεωμετρία, μία λύση.

Είναι \displaystyle \widehat{ZEC}\overset{ZE\parallel DC}=\widehat{DCE}\overset{A,D,E,C\in \left ( O \right )}=\widehat{DAE}\overset{\upsilon \pi o\vartheta .}=\widehat{BAE} και από το εγγράψιμο ABCE είναι \widehat{ZCE}=\widehat{BAE}, επομένως \widehat{ZEC}=\widehat{ZCE}\Longrightarrow ZE=ZC\overset{OE=OC}\Longrightarrow OZ\perp EC

Αν η επιτροπή δεν το επιτρέπει, να αποσύρω την ανάρτηση αμέσως...
τελευταία επεξεργασία από Henri van Aubel σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Παπαδόπουλος Κώστας
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:32 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παπαδόπουλος Κώστας » Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:43 pm

Στο θέμα 2 Α λυκείου αν θυμάμαι καλά οι παραστάσεις επαληθεύονται για y =-1 και χ=1 ή χ=3 σωστά;


Άβαταρ μέλους
∫ot.T.
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 23, 2023 4:21 pm
Τοποθεσία: Λουτράκι

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ∫ot.T. » Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:45 pm

Παπαδόπουλος Κώστας έγραψε:
Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:43 pm
Στο θέμα 2 Α λυκείου αν θυμάμαι καλά οι παραστάσεις επαληθεύονται για y =-1 και χ=1 ή χ=3 σωστά;
Ακριβώς


«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
Παπαδόπουλος Κώστας
Δημοσιεύσεις: 20
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:32 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παπαδόπουλος Κώστας » Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:49 pm

Καταρχάς Σωτήρη χάρηκα για την γνωριμία. Στο θέμα 1 εκτός από την τιμή 9 τησ παράστασης για α=β=γ βρήκες κάποια άλλη λύση;


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 778
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:51 pm

Βλεπω ότι στο ιντερνετ έχουν ανέβει μέχρι και οι επίσημες λύσεις... Οπότε παραθέτω τα θέματα σε pdf...
THALIS 2023_24_Ekfoniseis_04_11_2023.pdf
(483.53 KiB) Μεταφορτώθηκε 341 φορές


Άβαταρ μέλους
elenipappa
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 01, 2021 8:42 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από elenipappa » Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:59 pm

Μια λύση για το πρόβλημα 3 Α' Λυκείου

2023\cdot 10^{n}+1=\left ( \alpha +1\right )^{2} , \alpha \in\mathbb{Z}
Ο Α είναι περιττός, άρα ο α είναι άρτιος
2023\cdot 10^{n}=\alpha \left ( \alpha +2 \right )
Παρατηρώ ότι ο 2023\cdot 10^{n} τελειώνει σε 0. Άρα ο \alpha τελειώνει σε 8 και ο \alpha +2 σε 0.
Άρα \alpha +2=10\kappa , \kappa \in \mathbb{Z}

2023\cdot 10^{n}=a\cdot 10k\Leftrightarrow 2023=\alpha \frac{k}{10^{n-1}}
Άρα \frac{k}{10^{n-1}} 
|2023=17^{2}\cdot 7
Έτσι, παίρνουμε τις εξής περιπτώσεις:
1) k=7\cdot 10^{n-1}
Τότε a=\frac{2023\cdot 10^{n}}{10\cdot 7\cdot 10^{n}} \Leftrightarrow \alpha =289
2)k=17\cdot 10^{n-1}
Τότε \alpha =119
3) k=289\cdot 10^{n-1}
Τότε \alpha =7
4) k=119\cdot 10^{n-1}
Τότε a=17
Άτοπο
Σε καμία από τις περιπτώσεις ο \alpha τελειώνει σε 8.
Άρα δεν υπάρχει τέτοιος n
τελευταία επεξεργασία από elenipappa σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 2:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Wer wagt, gewinnt
panosgl2006
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 06, 2021 11:41 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panosgl2006 » Σάβ Νοέμ 04, 2023 2:18 pm

Λύση για Θέμα 3ο της 3ης λυκείου
Έστω A=k^2 τότε

Το k^2-5=2023\cdot 10^n όμως το δεύτερο μέρος τελειώνει σε 0 άρα

k^2 πρέπει να τελειώνει σε 5 άρα k της μορφής x\cdot 5^\lambda

άρα

2023\cdot 10^n=5\cdot (x^2 \cdot 5^{2\lambda -1}-1) άρα

2\cdot 2023\cdot 10^{n-1}=x^2 \cdot 5^{2\lambda -1}-1 όμως το πρώτο μέλος τελειώνει σε 0 και το δεύτερο

σε 4 άρα δεν υπάρχει τέτοιο n

(ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΑΠΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗ (ΙΩΑΝΝΟΥ Δ.): Διόρθωση κώδικα)


Giannis Masterio
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Κυρ Απρ 03, 2022 2:44 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Giannis Masterio » Σάβ Νοέμ 04, 2023 2:33 pm

Καλησπέρα σας. Έγραφα στης Γ Λυκείου και στο Π2 κατόπιν διευκρίνησης με είπαν ότι δε μας νοιάζει η πολλαπλότητα της κάθε διακεκριμένης ρίζας και η λέξη ακριβώς εχει να κάνει με το πόσες είναι διακεκριμένες. Και έτσι έβγαλα 2020 συντελεστές . (Βέβαια έγραψα και ειδική σημείωση που λέω οτι αμα μας νοιαζει η πολλαπλοτητα τοτε 2019 συντελεστες γτ δε πρεπει να μηδενισουμε τον σταθερο ορο του βοηθητικου πολυωνυμου παράγοντα του αρχικού, και εκει ομως δεν εδωσα πιο ειδικη εξηγηση οτι πρεπει ο μεγιστοβαθμιος συντελεστης να ναι ομοσημος του σταθερου για να μην εχουμε αλλη διακεκριμενη) Πιστεύετε θα με κοψουν τιποτα?


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 778
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:04 pm

Giannis Masterio έγραψε:
Σάβ Νοέμ 04, 2023 2:33 pm
Καλησπέρα σας. Έγραφα στης Γ Λυκείου και στο Π2 κατόπιν διευκρίνησης με είπαν ότι δε μας νοιάζει η πολλαπλότητα της κάθε διακεκριμένης ρίζας και η λέξη ακριβώς εχει να κάνει με το πόσες είναι διακεκριμένες. Και έτσι έβγαλα 2020 συντελεστές . (Βέβαια έγραψα και ειδική σημείωση που λέω οτι αμα μας νοιαζει η πολλαπλοτητα τοτε 2019 συντελεστες γτ δε πρεπει να μηδενισουμε τον σταθερο ορο του βοηθητικου πολυωνυμου παράγοντα του αρχικού, και εκει ομως δεν εδωσα πιο ειδικη εξηγηση οτι πρεπει ο μεγιστοβαθμιος συντελεστης να ναι ομοσημος του σταθερου για να μην εχουμε αλλη διακεκριμενη) Πιστεύετε θα με κοψουν τιποτα?
Καλησπέρα! Η σωστή απάντηση είναι 2022...


Giannis Masterio
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Κυρ Απρ 03, 2022 2:44 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Giannis Masterio » Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:24 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:04 pm
Giannis Masterio έγραψε:
Σάβ Νοέμ 04, 2023 2:33 pm
Καλησπέρα σας. Έγραφα στης Γ Λυκείου και στο Π2 κατόπιν διευκρίνησης με είπαν ότι δε μας νοιάζει η πολλαπλότητα της κάθε διακεκριμένης ρίζας και η λέξη ακριβώς εχει να κάνει με το πόσες είναι διακεκριμένες. Και έτσι έβγαλα 2020 συντελεστές . (Βέβαια έγραψα και ειδική σημείωση που λέω οτι αμα μας νοιαζει η πολλαπλοτητα τοτε 2019 συντελεστες γτ δε πρεπει να μηδενισουμε τον σταθερο ορο του βοηθητικου πολυωνυμου παράγοντα του αρχικού, και εκει ομως δεν εδωσα πιο ειδικη εξηγηση οτι πρεπει ο μεγιστοβαθμιος συντελεστης να ναι ομοσημος του σταθερου για να μην εχουμε αλλη διακεκριμενη) Πιστεύετε θα με κοψουν τιποτα?
Καλησπέρα! Η σωστή απάντηση είναι 2022...
Θεώρησα P(x) =a(x-p_1) (χ-p_2) (χ-p_3) (χ-p_4) Q(x) με degQ(x) =2020 Και ασχολήθηκα με το Q. Λογικά θα έχασα τους άλλους δυο από το γινόμενο των (x-p_i) με ι να ναι 1,2,3,4 επειδή δεν έκανα τις πράξεις εκεί και αμέλησα να μετρήσω άλλους 2(οι παραπάνω 2 προκύπτουν όπως αντιλαμβάνομαι αν η μια ρίζα είναι το 0). Παρόλα αυτά άμα τα υπόλοιπα τα έχω κάνει σωστά πιστεύετε θα πάρω 3 με 4 μόρια από τα 5?

ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΑΠΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗ(ΙΩΑΝΝΟΥ Δ.): Διόρθωση σε κώδικα.
(Παράκληση προς τα μέλη μας, να μην παραλείπουν τον τονισμό των λέξεων)
τελευταία επεξεργασία από Giannis Masterio σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Nick Rapanos
Δημοσιεύσεις: 50
Εγγραφή: Τρί Απρ 07, 2009 2:18 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick Rapanos » Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:27 pm

Γ' Λυκείου/Θέμα 4

Παρατηρώ ότι όταν η γωνία \hat{A}=60^o τότε το τετράπλευρο ΟΙBC είναι εγγραψίμο καθώς \widehat{BIC}=\widehat{BOC}=120^o.
Άρα, \widehat{IOB}=\widehat{ICB}=\hat{C}/2 = \widehat{EOB}/2, και συνεπώς η OI διχοτομεί τη γωνία \widehat{EOB}.
To τρίγωνο EOB είναι ισοσκελές, άρα η OI είναι και μεσοκάθετος της EB.
C6_P4.png
C6_P4.png (616.17 KiB) Προβλήθηκε 3743 φορές
[ggb=https://www.geogebra.org/classic/fvhrrvz2][/ggb]
τελευταία επεξεργασία από Nick Rapanos σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:34 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
∫ot.T.
Δημοσιεύσεις: 44
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 23, 2023 4:21 pm
Τοποθεσία: Λουτράκι

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ∫ot.T. » Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:30 pm

Βλέποντας τα θέματα παρατηρώ ότι το πρόβλημα 2 της Β' Λυκείου λύνεται γρήγορα, αλλά με χρήση συμβόλου Legendre.
Αφού 2023=πολ7 τότε 2023\cdot 10^{n}+6\equiv -1mod7
Άρα πρέπει να υπάρχει α με
a^{2}\equiv -1mod7
Άτοπο αφού το -1 δεν είναι τετραγωνικό κατάλοιπο του 7.

Όντως \left ( \frac{-1}{7} \right )\equiv (-1)^{\frac{7-1}{2}}\equiv -1 mod7

(Έτσι μπορεί να λυθεί το Π3 της Γ' Λυκείου αφού \left ( \frac{-2}{7} \right )\equiv -1mod7)
τελευταία επεξεργασία από ∫ot.T. σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:51 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
Nick Rapanos
Δημοσιεύσεις: 50
Εγγραφή: Τρί Απρ 07, 2009 2:18 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2023

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick Rapanos » Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:49 pm

Γ' Γυμνασίου

1. 2^{100} (αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος..)

2. 2023xy = 2023*100+10x+y \Rightarrow 10x+y = 0 mod17 και 0\leq10x+y\leq99

3. Έστω ότι κανένας από τους 7 αριθμούς δε διαιρείται με το 10. Τότε καθένας από αυτούς τους 7 αριθμούς θα πρέπει να διαιρείται είτε με το 2 είτε με το 5 και αυτό γιατί αν υπήρχε ένας που δε διαιρούταν ούτε με το 2 ούτε με το 5, θα μπορούσα να επιλέξω μια τετράδα αριθμών που αποτελείται από αυτόν και τρεις ακόμα αριθμούς με τον ίδιο διαιρέτη (είτε 42 είτε 5) και το γινόμενο τους δε θα διαιρούταν με το 10. Αφού λοιπόν οι αριθμοί είναι 7 και καθένας από τους 7 αριθμούς θα πρέπει να διαιρείται είτε με το 2 είτε με το 5 (αλλά όχι και από το γινόμενο τους), προκύπτει από την Αρχή της Περιστεροφωλιάς ότι τουλάχιστον 4 αριθμοί έχουν τον ίδιο διαιρέτη και συνεπώς το γινόμενό τους δε διαiρείται με το 10, που είναι άτοπο.

4. Το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο και η ΑΕ μπορεί να μετρηθεί με εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Εύκολα προκύπτει ότι
AE = AZ = 5\alpha/4. Συνεπώς το ΑΕΓΖ είναι ρόμβος και η διαγώνιος ΕΖ διχοτομεί τη διαγώνιο ΑΓ. Με εφαρμογές του Πυθαγορείου Θεωρήματος προκύπτει ότι A\Gamma = \sqrt{5}\alpha = 2\times EZ

ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΑΠΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗ(ΙΩΑΝΝΟΥ Δ.) Διόρθωση κώδικα
τελευταία επεξεργασία από Nick Rapanos σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 4:51 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης