Τεστ Εξάσκησης (17), Μεγάλοι

#1

ΘΕΜΑ 1
Να βρείτε το μέγιστο κοινό διαιρέτη των αριθμών E(1), E(2), E(3),..., E(2009)

,
όπου

.

ΘΕΜΑ 2
Αν a,b,c

θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{a}{\sqrt{3a+2b+c}}+\frac{b}{\sqrt{3b+2c+a}}+\frac{c}{\sqrt{3c+2a+b}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{a+b+c}.}$

ΘΕΜΑ 3
Στη βάση ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημείο Δ , ώστε ΒΔ = 2 ΔΓ. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΓ και Ε είναι η προβολή του Δ στην ΒΜ, να αποδειχθεί ότι οι γωνίες ΑΒΓ και ΜΕΓ είναι ίσες.

ΘΕΜΑ 4
Σε μια $n \times n$ σκακιέρα είναι τοποθετημένα κάποια πιόνια. Αν στο τετράγωνο που βρίσκεται στην σειρά

και στήλη

δεν υπάρχει κάποιο πιόνι, τότε σε αυτήν την σειρά και αυτήν την στήλη υπάρχουν συνολικά τουλάχιστον

πιόνια.
Να δειχθεί πως στην σκακιέρα υπάρχουν τουλάχιστον n^2/2

πιόνια.

STOPJOHN · #2

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 22, 2023 12:45 am
ΘΕΜΑ 3
Στη βάση ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημείο Δ , ώστε ΒΔ = 2 ΔΓ. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΓ και Ε είναι η προβολή του Δ στην ΒΜ, να αποδειχθεί ότι οι γωνίες ΑΒΓ και ΜΕΓ είναι ίσες.

Το σημείο

$\Theta$ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου

$AB\Gamma$

και το σημείο $\Sigma$

Το ορθόκεντρο του τριγώνου

$B\Theta \Delta$

Οπότε το τετράπλευρο

$EO\Delta \Theta$
είναι εγγράψιμο και

$\hat{BEO}=\hat{\Theta \Delta O},\Delta \Theta //M\Gamma \Rightarrow \hat{\Theta \Delta O}=\hat{A\Gamma B}$

άρα το τετράπλευρο

$EO\Gamma M$

είναι εγγράψιμο και

$\hat{ME\Gamma }=\hat{MO\Gamma }=\hat{AB\Gamma }$

#3

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 22, 2023 12:45 am

ΘΕΜΑ 3
Στη βάση ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημείο Δ , ώστε ΒΔ = 2 ΔΓ. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΓ και Ε είναι η προβολή του Δ στην ΒΜ, να αποδειχθεί ότι οι γωνίες ΑΒΓ και ΜΕΓ είναι ίσες.

Έστω

το μέσο της βάσης του ισοσκελούς $\vartriangle ABC$ και

το σημείο τομής των διαμέσων του $AO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BM$ .

Το

είναι βαρύκεντρο του $\vartriangle ABC$ . οπότε αβίαστα έχω ότι $GD//AC\,\,\left( 1 \right)$ .

Η τετράδα : $\left( {O,C\backslash B,D} \right)$ είναι αρμονική γιατί , $\dfrac{{DO}}{{DC}} = \dfrac{k}{{2k}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{{BO}}{{BC}}$ .

Επειδή $ED \bot EB$ στο $\vartriangle EOC$ οι $ED\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EB$ είναι διχοτόμοι του , εσωτερική και εξωτερική αντίστοιχα .

: Τεστ_εξάσκησης 17_Μεγάλοι.png (24.84 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές

Έτσι $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} \Leftrightarrow 90^\circ - \widehat {{\theta _1}} = 90^\circ - \widehat {{\theta _2}} \Leftrightarrow \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}}$

Αλλά από το εγγράψιμο τετράπλευρο ODEG

, $\widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _3}}$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ ,

διαδοχικά έχω : $\widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _3}} = \widehat {ACB} = \widehat {ABC}$ .

2ος Τρόπος

Το τετράπλευρο OCME

είναι εγγράψιμο σε κύκλο κέντρου έστω

, το οποίο ανήκει στην μεσοκάθετο του

.

: Τεστ_εξάσκησης 17_Μεγάλοι_αλλιώς.png (21.62 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές

Άρα το

είναι το μέσο του πάνω τόξου χορδής

, συνεπώς οι εγγεγραμμένες γωνίες $\widehat {CEM}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {MCO}$ είναι ίσες και αυτό που θέλω είναι φανερό .

vgreco · #4

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 22, 2023 12:45 am
ΘΕΜΑ 2
Αν θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{a}{\sqrt{3a+2b+c}}+\frac{b}{\sqrt{3b+2c+a}}+\frac{c}{\sqrt{3c+2a+b}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{a+b+c}.}$

Είναι:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \sum \sqrt{a} \cdot \sqrt{\dfrac{a}{3a + 2b + c}} &\leq \sqrt{\sum a} \cdot \sqrt{\sum \dfrac{a}{(a + b + c) + (2a + b)}} \\ &\leq \sqrt{ \sum a} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{\sum a}{a + b + c} + \sum \dfrac{a}{2a + b} \right)} \\ &= \sqrt{ \sum a} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{4} \left( 1 + \sum \dfrac{a}{2a + b} \right)} \end{aligned} }$

Αρκεί να δείξω, λοιπόν, ότι:

$\displaystyle{ \sqrt{ \sum a} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{4} \left( 1 + \sum \dfrac{a}{2a + b} \right)} \leq \dfrac{1}{\sqrt2} \sqrt{\sum a} \Leftrightarrow \sqrt{1 + \sum \dfrac{a}{2a + b}} \leq \sqrt{2} \Leftrightarrow \sum \dfrac{a}{2a + b} \leq 1 }$

η οποία μετά από πράξεις δίνει $a^2c + b^2a + c^2b \geq 3abc$ που ισχύει από την $\rm AM - GM$ . Ισότητα έχουμε για a = b = c

.

#5

Τα θέματα 1,2 και 3 προέρχονται από τη συλλογή

Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

ΘΕΜΑ 3
Στη βάση ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημείο Δ , ώστε ΒΔ = 2 ΔΓ. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΓ και Ε είναι η προβολή του Δ στην ΒΜ, να αποδειχθεί ότι οι γωνίες ΑΒΓ και ΜΕΓ είναι ίσες.

Απόδειξη

Με $AN,MZ \bot BC \Rightarrow M,E,D,Z$ ομοκυκλικά και $BN= \dfrac{a}{2} ,BD= \dfrac{2a}{3} ,ZC= \dfrac{a}{4}$

$BE.BM=BD.BZ=\dfrac{2a}{3} . \dfrac{3a}{4}= \dfrac{a^2}{2} =BN.BC$ άρα E,M,C,N

ομοκυκλικά,οπότε

$\angle MEC= \angle MNC= \angle ABC$ (αφού MN//AB

)

: Τέστ εξάσκησης 17.png (20.16 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές

Τεστ Εξάσκησης (17), Μεγάλοι

Τεστ Εξάσκησης (17), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (17), Μεγάλοι

Μέλη σε σύνδεση