Τεστ Εξάσκησης (16), Μεγάλοι

#1

ΘΕΜΑ 1
Για ποιους ακεραίους

είναι ο αριθμός $x^{2009}+x^{2008}+x^{2}+x+1$ πρώτος;

ΘΕΜΑ 2
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της πραγματικής σταθερής

έτσι ώστε

$\displaystyle{ (a+bc)(b+ac)(c+ab)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge(Mabc) }$

για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c

για τους οποίους a+b+c=1.

ΘΕΜΑ 3
Έστω τρίγωνο ABC

, $AB\ne AC$ , και

το έκκεντρό του.
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται της πλευράς

στο σημείο

.
Αν

το μέσο της

, να αποδείξετε ότι η ευθεία

περνάει από το μέσο του τμήματος

.

ΘΕΜΑ 4
Σε ένα καλοκαιρινό σχολείο παραδίδονται

μαθήματα. Κάθε μαθητής παρακολούθησε τουλάχιστον ένα μάθημα και κάθε μάθημα παρακολουθήθηκε από τουλάχιστον

μαθητές. Γνωρίζουμε ότι για κάθε δύο μαθήματα υπάρχουν το πολύ

μαθητές οι οποίοι παρακολούθησαν και τα δύο.
Να δειχθεί ότι στο σχολείο έλαβαν μέρος τουλάχιστον 120

μαθητές.

2nisic · #2

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 22, 2023 12:41 am
ΘΕΜΑ 1
Για ποιους ακεραίους είναι ο αριθμός $x^{2009}+x^{2008}+x^{2}+x+1$ πρώτος;

Έστω

μια πέμπτη ριζά της μονάδας τότε f(g)=g^4+g^3+g^2+g+1=0

οπότε $x^4+x^3+x^2+x+1|x^{2009}+x^{2008}+x^{2}+x+1$
Eστω $x^{2009}+x^{2008}+x^{2}+x+1= (x^4+x^3+x^2+x+1)P(X)$ επειδή θέλουμε $x^{2009}+x^{2008}+x^{2}+x+1$ πρώτος και $x^4+x^3+x^2+x+1 \geq 1.$
(η ισότητα ισχύει μόνο για x=-1

που απορρίπτεται) θα πρέπει P(x)=1

όμως για

, $x^4+x^3+x^2+x+1<x^{2009}+x^{2008}+x^{2}+x+1\Rightarrow P(x)>1$ .
Άρα μοναδική λύση η x=1.

2nisic · #3

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 22, 2023 12:41 am
ΘΕΜΑ 2
Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της πραγματικής σταθερής έτσι ώστε

$\displaystyle{ (a+bc)(b+ac)(c+ab)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge(Mabc) }$

για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους

Για $\displaystyle{a=b=c=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{64}{3}\geqslant M}$ .
θα δείξουμε ότι για $\displaystyle{\frac{64}{3}= M}$ ισχύει.
a+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)

Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι:
$\displaystyle{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant \frac{64}{3} abc }$

Επειδή $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ αρκεί να δείξουμε ότι: $\displaystyle{(a+b)(b+c)(c+a)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geqslant \frac{8}{3} .}$
Έστω p=a+b+c=1

,

τότε η προηγουμένη γράφεται:
$(pq-r)q\geqslant \frac{8}{3}r\Rightarrow 9pq^2\geqslant 24r+9rq=24rp^2+9rq$
που ισχύει αφού $q^2\geqslant 3pr\Rightarrow 8q^2p\geqslant 24rp^2$ και $pq\geqslant 9r\Rightarrow pq^2\geqslant 9rq.$

2nisic · #4

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 22, 2023 12:41 am
ΘΕΜΑ 3
Έστω τρίγωνο , $AB\ne AC$ , και το έκκεντρό του.
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται της πλευράς στο σημείο .
Αν το μέσο της , να αποδείξετε ότι η ευθεία περνάει από το μέσο του τμήματος .

Έστω

το αντιδιαμετρικο του

και το σημείο επαφής του Α-προγεγραμμένου κύκλου με την

.
Από ομοιοθεσια τα A,D',L

είναι συνευθειακα.
Στο DD'L

η

είναι μεσο-παράλληλη της D'L

πηγαίνοντας τώρα στο ADL

έχουμε το ζητούμενο.

#5

Τα θέματα 1,2 και 3 προέρχονται από τη συλλογή

Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

miltosk · #6

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 22, 2023 12:41 am

ΘΕΜΑ 3
Έστω τρίγωνο , $AB\ne AC$ , και το έκκεντρό του.
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται της πλευράς στο σημείο .
Αν το μέσο της , να αποδείξετε ότι η ευθεία περνάει από το μέσο του τμήματος .

Για πάμε και μία με μιγαδικούς.
Ας είναι το έγκεντρο η αρχή των αξόνων. Θεωρώ επίσης τον εγγεγραμμένο ως τον μοναδιαίο κύκλο και WLOG ας είναι

ο μιγαδικός του

(όλα τα παραπάνω μπορώ να τα υποθέσω λόγω στροφής και ομοιοθεσίας, δηλαδή και κάτι αλλο να ισχύει εφαρμόζοντας αυτους τους μετασχηματισμούς παίρνω τα παραπάνω δεδομένα).
Τότε, ας είναι E, F

οι επαφές του κύκλου με τις AC, AB

και

οι αντίστοιχοι μιγαδικοί τους. Ας είναι

το μέσο της

.
Οπότε, για τα A, B, C, M, M'

έχουμε:
$a=\frac{2ef}{e+f}, b=\frac{2if}{i+f}=\frac{2f}{1-if}, c=\frac{2e}{1-ie}, m=\frac{b+c}{2}, m'=\frac{a+d}{2}$
Συνεπώς, αρκεί:
$\frac{0-m}{\overline{0+m}}=\frac{0-m'}{\overline{0+m'}} \Rightarrow (b+c)({\overline{a+d}})=(a+d)(\overline{b+c})$ .
Επίσης, $\overline{e}=\frac{1}{e}, \overline{f}=\frac{1}{f}$ , λόγω μοναδιαίου κύκλου.
Κάνοντας τις πράξεις παίρνουμε ότι ισχύει η ζητούμενη ισότητα, αρα και το ζητούμενο (δεν προλαβαίνω να τα κάνω τώρα θα τα κοιτάξω άλλη στιγμή, αν υπάρχει λάθος ενημερώστε με γιατί την έκανα στο πόδι).

#7

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 22, 2023 12:41 am

ΘΕΜΑ 3
Έστω τρίγωνο , $AB\ne AC$ , και το έκκεντρό του.
Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται της πλευράς στο σημείο .
Αν το μέσο της , να αποδείξετε ότι η ευθεία περνάει από το μέσο του τμήματος .

Ας είναι $\left( {I,r} \right)$ ο εγγεγραμμένος και $\left( {L,R} \right)$ ο παρεγγεγραμμένος στην πλευρά

.

Ο $\left( {L,R} \right)$ εφάπτεται στα $Z\,\,,\,\,Q,\,\,P$ στην πλευρά $BC\,\,$ και στις προεκτάσεις των $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB$ .

Έστω

το πρώτο σημείο που η

συναντά τον $\left( {I,r} \right)$ . Υπάρχει ομοιοθεσία με κέντρο το

που απεικονίζει τον $\left( {I,r} \right)$ στον $\left( {L,R} \right)$ .

: Τεστ 16 Μεγάλοι.png (21.3 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

Σ αυτήν το $E \to Z\,\,,\,\,I \to L$ άρα και το $EI \to ZL$ κι αφού το $LZ \bot BC\,\,$ θα είναι και $EI \bot BC$ , συνεπώς το

είναι αντιδιαμετρικό του

.

Ως γνωστό με 2s = a + b + c

, είναι : $CQ = CZ = s - b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD = s - b$ . Δηλαδή τα M,I

είναι μέσα των $DZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE$ .

Οπότε η

διέρχεται κι από το μέσο , έστω

, του

.

Τεστ Εξάσκησης (16), Μεγάλοι

Τεστ Εξάσκησης (16), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (16), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (16), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (16), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (16), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (16), Μεγάλοι

Re: Τεστ Εξάσκησης (16), Μεγάλοι

Μέλη σε σύνδεση