Τεστ Εξάσκησης (55), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Στις κάθετες πλευρές

και

ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου ABC

επιλέγονται τα σημεία

και

, αντίστοιχα, έτσι ώστε CD=CE

. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία

και

στην ευθεία

τέμνουν την υποτείνουσα

στα σημεία

και

. Να δειχθεί ότι KL=LB

.

ΘΕΜΑ 2
Δύο μαθητές παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι:
Χρησιμοποιώντας τα ψηφία 1,2,3,4,5

γράφουν εναλλάξ στον πίνακα ένα από αυτά μέχρι να σχηματιστεί ένας 2011-ψήφιος αριθμός.
Ο μαθητής που παίζει τελευταίος κερδίζει αν ο αριθμός που σχηματίστηκε (από αριστερά προς τα δεξιά) είναι πολλαπλάσιο του

.
Ποιος έχει στρατηγική νίκης;

ΘΕΜΑ 3
Αν $a,b,c \in [0,1]$ και τέτοιοι ώστε ab+bc+ca=1

,

να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης a+b+c+abc.

ΘΕΜΑ 4
Ο πίνακας $10 \times 10$ είναι γεμάτος με τους αριθμούς 1 και −1 με τέτοιο τρόπο ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε σειρά εκτός από μία να είναι ίσο με 0 και το άθροισμα των αριθμών σε κάθε στήλη εκτός από μία να ισούται με τον ίδιο αριθμό

. Προσδιορίστε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του

STOPJOHN · #2

socrates έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 20, 2023 1:29 am
ΘΕΜΑ 1
Στις κάθετες πλευρές και ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου επιλέγονται τα σημεία και , αντίστοιχα, έτσι ώστε . Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία και στην ευθεία τέμνουν την υποτείνουσα στα σημεία και . Να δειχθεί ότι .

Το σημείο

είναι το ορθόκεντρο στο τρίγωνο OEA

και το τετράπλευρο CNAO

είναι εγγράψιμο σε κύκλο άρα $\hat{DOC}=\hat{CAN}=\omega$

Τα ορθογώνια τρίγωνα ECA,BCD

είναι ίσα. Άρα

$\hat{EAC}=\hat{CBD}=\hat{DOC}=\omega ,$

Συνεπώς

είναι μεσοκάθετος στο

$OC=CB,CL//OK\Rightarrow BL=KL$

#3

socrates έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 20, 2023 1:29 am
ΘΕΜΑ 1
Στις κάθετες πλευρές και ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου επιλέγονται τα σημεία και , αντίστοιχα, έτσι ώστε . Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία και στην ευθεία τέμνουν την υποτείνουσα στα σημεία και . Να δειχθεί ότι .

Η

τέμνει τη

στο

Το

είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα $\displaystyle E\widehat AB = D\widehat BA.$

: Μικροί(55).png (16.95 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} C\widehat LA = \theta + 45^\circ \hfill \\ D\widehat BA = 45^\circ - \omega \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 90^\circ + \theta - \omega = C\widehat LA + D\widehat BA = C\widehat LA + E\widehat AB = 90^\circ \Leftrightarrow \theta = \omega$

Άρα το

είναι μέσο της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου CDB

κι επειδή

το

θα είναι μέσο του KB.

Henri van Aubel · #4

Αυτός που παίζει πρώτος, θα παίξει και τελευταίος . Γράφουν 1,2,3,4,5

εναλλάξ για 402

φορές και ο τελευταίος γράφει το

. Ο αριθμός θα έχει άθροισμα ψηφίων ίσο με $402\times \left ( 1+2+3+4+5 \right )+1=402\times 15+1\equiv 1\left ( \textup{mod9} \right )$ , άρα δεν είναι πολλαπλάσιο του εννέα. Συνεπώς, αυτός που παίζει τελευταίος χάνει και αυτός που αρχίζει δεύτερος κερδίζει!
Αν κάποιος αρχίσει δεύτερος και κάνουν αυτή τη διαδικασία, τότε θα κερδίσει σίγουρα!

Είναι το θεμα 2

Ορέστης Λιγνός · #5

socrates έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 20, 2023 1:29 am
ΘΕΜΑ 3
Αν $a,b,c \in [0,1]$ και τέτοιοι ώστε ,

να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης

Είναι,

συνεπώς

$A=2-(1-a)(1-b)(1-c) \leq 2,$

με την ισότητα να ισχύει, για παράδειγμα, όταν (a,b,c)=(1,1,0)

.

Επιπλέον,

$A=2-(1-a)(1-b)(1-c) \geq 2-\dfrac{(3-a-b-c)^3}{27} \geq 2-\dfrac{(3-\sqrt{3})^3}{27}=\dfrac{10}{3\sqrt{3}},$

όπου η τελευταία ανισότητα ισχύει διότι $a+b+c \geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}=\sqrt{3}$ . Η ισότητα ισχύει όταν $a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Συνοψίζοντας, $A_{{\rm max}}=2$ και $A_{{\rm min}}=\dfrac{10}{3\sqrt{3}}$ .

#6

socrates έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 20, 2023 1:29 am
ΘΕΜΑ 1
Στις κάθετες πλευρές και ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου επιλέγονται τα σημεία και , αντίστοιχα, έτσι ώστε . Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία και στην ευθεία τέμνουν την υποτείνουσα στα σημεία και . Να δειχθεί ότι .

Γράφω τον κύκλο C,A,B

και η ευθεία

τον τέμνει ακόμα στο

. Είναι $\widehat {ASB} = 90^\circ$ γιατί βαίνει σε ημικύκλιο.

Τα ορθογώνια τρίγωνα $TBA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SEB$ έχουν τις υποτείνουσες $DA\,\,\kappa \alpha \iota \,EB\,$ ίσες και τις οξείες γωνίες $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ άρα είναι ίσα και θα έχουν TA = SB

.

: Τεστ 55 μοκροί.png (23.9 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές

Τα τρίγωνα $CTA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CSB$ έχουν : $CA = CB\,\,,\,\,TA = SB\,\,,\,\,\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ άρα είναι ίσα , οπότε CT = CS

.

Αν

το σημείο τομής των $AE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CL$ η

είναι μεσοκάθετος του

άρα θα διέρχεται από το άλλο μέσο

της πλευράς

του δισορθογωνίου τραπεζίου , TKBS

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Στις κάθετες πλευρές CA και CB ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου ABC επιλέγονται τα σημεία D και E , αντίστοιχα, έτσι ώστε CD=CE. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία D και C στην ευθεία AE τέμνουν την υποτείνουσα AB στα σημεία K και L. Να δειχθεί ότι KL=LB

Απόδειξη

Με

συμμετρικό του

ως προς

θα είναι $ZE \bot DE \Rightarrow ZE \bot AB$ άρα

ορθόκεντρο του

τριγώνου ZAB

,συνεπώς $AE \bot ZB$

Άρα ZB//KD//CL

κι έτσι

: Τέστ εξάσκησης 55.png (12.54 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές

#8

Τα θέματα 2 και 3 προέρχονται από τη συλλογή

Διαγωνισμός Αρχιμήδης - Των φρονίμων τα παιδιά...!

Τεστ Εξάσκησης (55), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (55), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (55), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (55), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (55), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (55), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (55), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (55), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (55), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση