Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
Πρόβλημα 1: Δίνεται μη σταθερή συνάρτηση με όπου πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί , τέτοιοι ώστε
και
Πρόβλημα 2: Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο . Στο εσωτερικό των τμημάτων και παίρνουμε σημεία και αντίστοιχα. Οι παράλληλες από τα σημεία και προς την τέμνουν τον κύκλο για δεύτερη φορά στα σημεία και αντίστοιχα. Έστω το σημείο τομής των ευθειών και . Οι κάθετες ευθείες από το προς τις και τέμνουν τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα.
Αν η ευθεία τέμνει την στο σημείο , να αποδείξετε ότι η είναι κάθετη στη .
Πρόβλημα 3: Έστω το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να καλύψουμε μια σκακιέρα ( γραμμές και στήλες) χρησιμοποιώντας τα παρακάτω πλακίδια:
Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του .
Σημείωση: Κάθε πλακίδιο καλύπτει ακριβώς τρία τετραγωνάκια της σκακιέρας και μπορεί να τοποθετηθεί μόνο όπως φαίνεται παραπάνω. Π.χ.\ το πρώτο από τα παραπάνω πλακίδια μπορεί να τοποθετηθεί μόνο κάθετα και όχι οριζόντια.
Πρόβλημα 4: Να αποδείξετε ότι υπάρχει πεπερασμένο πλήθος φυσικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση
Σημείωση: Με συμβολίζουμε το πλήθος των θετικών διαιρετών του (συμπεριλαμβανομένων των και ) και με το πλήθος των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων του που είναι σχετικά πρώτοι ως προς τον .
και
Πρόβλημα 2: Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο . Στο εσωτερικό των τμημάτων και παίρνουμε σημεία και αντίστοιχα. Οι παράλληλες από τα σημεία και προς την τέμνουν τον κύκλο για δεύτερη φορά στα σημεία και αντίστοιχα. Έστω το σημείο τομής των ευθειών και . Οι κάθετες ευθείες από το προς τις και τέμνουν τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα.
Αν η ευθεία τέμνει την στο σημείο , να αποδείξετε ότι η είναι κάθετη στη .
Πρόβλημα 3: Έστω το πλήθος των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να καλύψουμε μια σκακιέρα ( γραμμές και στήλες) χρησιμοποιώντας τα παρακάτω πλακίδια:
Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του .
Σημείωση: Κάθε πλακίδιο καλύπτει ακριβώς τρία τετραγωνάκια της σκακιέρας και μπορεί να τοποθετηθεί μόνο όπως φαίνεται παραπάνω. Π.χ.\ το πρώτο από τα παραπάνω πλακίδια μπορεί να τοποθετηθεί μόνο κάθετα και όχι οριζόντια.
Πρόβλημα 4: Να αποδείξετε ότι υπάρχει πεπερασμένο πλήθος φυσικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση
Σημείωση: Με συμβολίζουμε το πλήθος των θετικών διαιρετών του (συμπεριλαμβανομένων των και ) και με το πλήθος των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων του που είναι σχετικά πρώτοι ως προς τον .
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
Έστω , ισοδύναμα θέλω το σύνολο των θετικών ακεραίων με να είναι πεπερασμένο,Demetres έγραψε: ↑Πέμ Φεβ 23, 2023 2:40 pm
Πρόβλημα 4: Να αποδείξετε ότι υπάρχει πεπερασμένο πλήθος φυσικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση
Σημείωση: Με συμβολίζουμε το πλήθος των θετικών διαιρετών του (συμπεριλαμβανομένων των και ) και με το πλήθος των θετικών ακεραίων μικρότερων ή ίσων του που είναι σχετικά πρώτοι ως προς τον .
έστω πως δεν είναι, μπορούμε να βρούμε λοιπόν πολύ μεγάλα στοιχεία στο ,
Αρχικά αν πρώτος θα έπρεπε το οποίο είναι αδύνατο, άρα στο δεν υπάρχουν πρώτοι,
έστω τώρα , θα έπρεπε το οποίο είναι αδύνατο για μεγάλα , άρα κοιτάμε τα μεγάλα στοιχεία του που δεν είναι δυνάμεις του .
Έστω , έστω τότε
Υπάρχει ώστε για άπειρα στο , οπότε κοιτάω μόνο αυτά, έστω αποτελούν το επίσης άπειρο ,
Για να στο έχω και επομένως
για τα μεγάλα στο , έδειξα ότι δεν υπάρχουν μεγάλες δυνάμεις του , άρα για τα μεγάλα έχω , και έτσι για τα μεγάλα στο θα πρέπει αφού όμως αυτό σημαίνει ότι τα μεγάλα στο έχουν μορφή είναι δηλαδή δυνάμεις πρώτων, τότε όμως η οποία όμως είναι απλό να δούμε ότι δεν έχει άπειρες λύσεις.
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
θα δείξουμε ότι ισχύει για πεπερασμένο πλήθος αριθμών .
Εστω αρκεί να δείξουμε ότι :
ισχύει για πεπερασμένο πλήθος αριθμών .
,
Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι:
ισχύει για πεπερασμένο πλήθος αριθμών .
Αν τότε και οπότε δεν ισχύει.
Αρα .
Αν τότε και οπότε δεν ισχύει.
Οπότε για να ισχύει θα πρέπει και ώστε να μην υπάρχει .
Αρα υπάρχει φυσικος τέτοιος ώστε για κάθε
Ο δεν μπορεί να είναι πρώτος διότι τότε : .
Αφού είναι σύνθετος υπάρχει πρώτος που με και τότε:
Οπότε αρκεί να δείξουμε ότι το ακολουθώ ισχύει για πεπερασμένο πλήθος αριθμών:
που ισχύει.
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
Έστω το πλήθος των τροπών για να καλύψουμε μια σκακιέρα χρησιμοποιώντας τα πλακίδια.
Τότε: με ,
Με χαρακτηριστικη εξίσωση βρίσκουμε
θα βοούμε πρώτα τα δυο τελευταία ψηφιά του
Έστω τότε επειδή έχουμε οπότε:
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
Πρόβλημα 1
Άρα και
Από τη 2η σχέση βλέπουμε ότι θα έπρεπε , που δεν είναι ακέραιος
Όμοια για τη δεύτερη σχέση:
από όπου καταλαβαίνουμε ότι θα έπρεπε , που δεν είναι ακέραιος
Άρα και
Από τη 2η σχέση βλέπουμε ότι θα έπρεπε , που δεν είναι ακέραιος
Όμοια για τη δεύτερη σχέση:
από όπου καταλαβαίνουμε ότι θα έπρεπε , που δεν είναι ακέραιος
-
- Δημοσιεύσεις: 204
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
(Χρησιμοποιώ αντί των .)
Έστω ότι υπήρχαν. Τότε
, διότι
Ακόμη
, διότι
Από τις προκύπτει ότι .
Αν τότε και άρα , σταθερό, άτοπο.
Επομένως , άτοπο.
Άρα δεν υπάρχουν ώστε να ικανοποιούνται οι παραπάνω συνθήκες.
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής 2023 για EGMO/BMO/IMO
Η λύση μου για την Γεωμετρία!
Έχουμε
Επίσης Οπότε
Από άρα εγγράψιμο, δηλαδή τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Επομένως
Ακόμα,
Από
Επιπλέον, είναι
Όμως άρα θα είναι και έτσι η
Από και όπως θέλαμε
Έχουμε
Επίσης Οπότε
Από άρα εγγράψιμο, δηλαδή τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Επομένως
Ακόμα,
Από
Επιπλέον, είναι
Όμως άρα θα είναι και έτσι η
Από και όπως θέλαμε
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες