Περίεργο κομπιουτεράκι

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Τόλης
Δημοσιεύσεις: 29
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 20, 2022 12:53 am

Περίεργο κομπιουτεράκι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τόλης » Τρί Ιαν 24, 2023 4:32 pm

Διαβάζοντας το βιβλίο της Ελένης Μήτσιου (Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου) έπεσα πάνω στην εξής άσκηση που είναι από το βιβλίο Καγκουρό: Μαθηματικά για όλους (τόμος 1).

Ένα περίεργο κομπιουτεράκι μπορεί να κάνει μόνο τα εξής:
αν γράφουμε έναν αριθμό στην οθόνη του τότε είτε
α) τον πολλαπλασιάζει επί 2 η επί 3 , είτε
β) τον υψώνει στη δύναμη 2 ή στη δύναμη 3 .
Αρχίζοντας από τον αριθμό 15, ποιος από τους ακόλουθους αριθμούς
μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας το περίεργο κομπιουτεράκι 5 φορές
διαδοχικά ;

α) 2^{8}\cdot 3^{5}\cdot 5^{6} β) 2^{8}\cdot 3^{4}\cdot 5^{2} γ) 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3} δ) 2^{6}\cdot 3^{6}\cdot 5^{4} ε) 2\cdot 3^{2}\cdot 5^{6}

Θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε τη εννοεί αρχίζοντας από το 15 και να μου δώσετε μια βοήθεια επίλυσης του συγκεκριμένου προβλήματος ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14860
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Περίεργο κομπιουτεράκι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 24, 2023 9:34 pm

Τόλης έγραψε:
Τρί Ιαν 24, 2023 4:32 pm
Διαβάζοντας το βιβλίο της Ελένης Μήτσιου (Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου) έπεσα πάνω στην εξής άσκηση που είναι από το βιβλίο Καγκουρό: Μαθηματικά για όλους (τόμος 1).

Ένα περίεργο κομπιουτεράκι μπορεί να κάνει μόνο τα εξής:
αν γράφουμε έναν αριθμό στην οθόνη του τότε είτε
α) τον πολλαπλασιάζει επί 2 η επί 3 , είτε
β) τον υψώνει στη δύναμη 2 ή στη δύναμη 3 .
Αρχίζοντας από τον αριθμό 15, ποιος από τους ακόλουθους αριθμούς
μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας το περίεργο κομπιουτεράκι 5 φορές
διαδοχικά ;

α) 2^{8}\cdot 3^{5}\cdot 5^{6} β) 2^{8}\cdot 3^{4}\cdot 5^{2} γ) 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5^{3} δ) 2^{6}\cdot 3^{6}\cdot 5^{4} ε) 2\cdot 3^{2}\cdot 5^{6}

Θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε τη εννοεί αρχίζοντας από το 15 και να μου δώσετε μια βοήθεια επίλυσης του συγκεκριμένου προβλήματος ;
Τι θα πει "αρχίζοντας από το 15" είναι αυτονόητο. Σημαίνει ότι γράφεις στο κομπιουτεράκι σου το 15, και μετά χρησιμοποιείς το κομπιουτεράκι σου πέντε φορές.

Γράφω σε απόκρυψη την λύση με κοπή/αντιγρταφή από το τότε βιβλίο Καγκουρό. Θα σου συνιστούσα να δουλέψεις την άσκηση ΠΡΙΝ διαβάσεις την λύση. Ως υπόδειξη, γράφουμε 15=3\times 5 και δες σε τι αριθμούς μπορεί να μετασχηματιστεί αυτός με τα βήματα α) και β)
.
Αρχίζοντας από το 15=3\cdot 5, οποιοσδήποτε ενδιάμεσος αριθμός είναι της μορφής 2^a 3^b 5 ^c. Οι αριθμοί που προκύπτουν κατά την διαδικασία δεν μπορεί να έχουν περισσότερα 5-ρια από 3-ρια γιατί η χρήση του α) μπορεί να αυξήσει τα 3-αρια και όχι τα 5-ρια ενώ του β) δεν ανατρέπει το προβάδισμα εκείνου που έχει εκθέτη μεγαλύτερο ή ίσο από τον άλλον. Έτσι οι περιπτώσεις Α) και Ε) αποκλείονται. Επίσης αποκλείεται η Γ) διότι απαιτεί ακριβώς μία χρήση του κουμπιού β) (λόγω της ύπαρξης του 5^3) και άρα τεσσάρων του α) (το 3 είναι ήδη υψωμένο στην τρίτη δύναμη), πράγμα που θα έδινε 2^4. Όμοια αποκλείεται οι περίπτωση Β). Για την Δ) υπάρχει η εξής διαδικασία: 3\cdot 5 , μετά (α) 2\cdot 3 \cdot 5, (β) 2^2\cdot 3^ 2 \cdot 5^2 , (α) 2^3\cdot 3^2 \cdot 5^2 , (α) 2^3 \cdot 3^3\cdot 5^2 , (β)  2^6\cdot 3^6\cdot 5^4.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες