Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 (1η φάση, 9η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023
Θέματα της 1ης φάσης για την 9η τάξη, 19 Νοεμβρίου 2022

1. Η διαφορά των ριζών του δευτεροβάθμιου τριώνυμου είναι και η διαφορά των ριζών του τριώνυμου , . Με τι μπορεί να ισούται η διαφορά των ριζών του δευτεροβάθμιου τριώνυμου ;

2. Το καθένα από παιδιά κρατάει στα χέρια του ένα πινακάκι με έναν μη μηδενικό αριθμό (θετικό ή αρνητικό), όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι διαφορετικοί. Τα παιδιά παρατάχθηκαν κατά φθίνουσα σειρά των αριθμών τους (πρώτα ο μεγαλύτερος αριθμός) και ο Χρήστος προέκυψε να είναι ο τεσσαρακοστός στη σειρά. Ύστερα τα παιδιά παρατάχθηκαν κατά φθίνουσα σειρά, των αντίστροφων των αρχικών αριθμών τους (θυμίζουμε, ότι αντίστροφος ενός αριθμού ονομάζεται ο αριθμός ) και ο Χρήστος προέκυψε να είναι εξηκοστός. Τέλος, τα παιδιά παρατάχθηκαν κατά φθίνουσα σειρά των τετραγώνων των αρχικών αριθμών τους (όλα τα τετράγωνα προέκυψαν διαφορετικά). Σε ποια θέση κατά σειρά μπορεί να προέκυψε ο Χρήστος; Φέρτε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και εξηγήστε γιατί δεν υπάρχουν άλλες.

3. Το σημείο βρίσκεται στην διχοτόμο του τριγώνου . Στην πλευρά δίνεται σημείο , ώστε και . Αν , να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου .

4. Θα ονομάσουμε έναν φυσικό αριθμό (μη μηδενικό) χρήσιμο, αν θα βρεθεί διαιρέτης του αριθμού τέτοιος, ώστε ο αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο. Πόσοι χρήσιμοι αριθμοί υπάρχουν μεταξύ των αριθμών έως ;

5. Ο Βασίλης στα γενέθλιά του έλαβε ως δώρο ένα πίνακα, που αποτελείται από ένα τετράγωνο κελιών, στο οποίο έχουν αποκοπεί δυο τετράγωνα, αυτό που περιέχει το πάνω αριστερά γωνιακό κελί και αυτό που περιέχει το πάνω δεξιά γωνιακό κελί. Σε κάθε κελί αυτού του πίνακα ο Βασίλης έγραψε έναν φυσικό αριθμό από το έως το , ως αποτέλεσμα κάθε αριθμός συναντάται στον πίνακα περιττό αριθμό φορές. Μια γωνία των τριών κελιών θα την ονομάσουμε πετυχημένη, αν όλοι οι αριθμοί στα κελία της είναι ίσοι μεταξύ τους ή αν είναι όλοι διαφορετικοί. Ο Βασίλης μέτρησε το πλήθος των πετυχημένων γωνιών του πίνακα. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος που μπορεί να του προέκυψε;

[Demetres]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023
Θέματα της 1ης φάσης για την 9η τάξη, 19 Νοεμβρίου 2022

5. Ο Βασίλης στα γενέθλιά του έλαβε ως δώρο ένα πίνακα, που αποτελείται από ένα τετράγωνο κελιών, στο οποίο έχουν αποκοπεί δυο τετράγωνα, αυτό που περιέχει το πάνω αριστερά γωνιακό κελί και αυτό που περιέχει το πάνω δεξιά γωνιακό κελί. Σε κάθε κελί αυτού του πίνακα ο Βασίλης έγραψε έναν φυσικό αριθμό από το έως το , ως αποτέλεσμα κάθε αριθμός συναντάται στον πίνακα περιττό αριθμό φορές. Μια γωνία των τριών κελιών θα την ονομάσουμε πετυχημένη, αν όλοι οι αριθμοί στα κελία της είναι ίσοι μεταξύ τους ή αν είναι όλοι διαφορετικοί. Ο Βασίλης μέτρησε το πλήθος των πετυχημένων γωνιών του πίνακα. Ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος που μπορεί να του προέκυψε;

Φαίνεται ότι ξεχάστηκαν αυτά. Βάζω μια λύση για το 5.

Προσοχή. Η λύση μου είναι λανθασμένη αφού στο παράδειγμα μου υπάρχουν πολύ περισσότερες πετυχημένες γωνίες. Θα επανέλθω όταν το διορθώσω.

Μπορούμε να έχουμε μόνο μία πετυχημένη γωνία ως εξής: Χρωματίζουμε τα κελιά μαύρα/άσπρα όπως σε σκακιέρα με το πάνω αριστερά να είναι άσπρο. Γράφουμε σε όλα τα μαύρα κελιά καθώς και στο πάνω αριστερά τον αριθμό . Στα υπόλοιπα κελιά γράφουμε αυθαίρετα τους αριθμούς ως τον κάθε ένα περιττό πλήθος φορών. Η μόνο πετυχημένη γωνία είναι αυτή με τους τρείς άσσους.

Θα δείξουμε τώρα ότι αναγκαστικά υπάρχει πετυχημένη γωνία. Χωρίζουμε τη σκακιέρα σε τετράγωνα με τέσσερα κελιά το καθένα. Ο μόνος τρόπος ένα τέτοιο τετράγωνο να μην έχει πετυχημένη γωνία είναι να έχει δύο τετράγωνα με έναν αριθμό και τα άλλα δύο με έναν διαφορετικό αριθμό. Αν συμβαίνει αυτό όμως σε όλα τα παραπάνω τετράγωνα, τότε κάθε αριθμός έχει γραφτεί άρτιο πλήθος φορών, άτοπο.

Αφήνω τη λανθασμένη απάντηση. Η ορθή, ελπίζω, απάντηση βρίσκεται δύο αναρτήσεις πιο κάτω.

[george visvikis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023
Θέματα της 1ης φάσης για την 9η τάξη, 19 Νοεμβρίου 2022

3. Το σημείο βρίσκεται στην διχοτόμο του τριγώνου . Στην πλευρά δίνεται σημείο , ώστε και . Αν , να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου .

Α.Π 2023.3.png (8.63 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές

Άρα, η περίμετρος είναι

[Demetres]

Επανέρχομαι με τη λύση του 5. Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο που παρατήρησε το λάθος.

Ισχυρίζομαι ότι θα υπάρχουν τουλάχιστον πετυχημένα κελιά. Για να το δείξω χωρίς τη σκακιέρα σε τετράγωνα με τέσσερα κελιά το καθένα. Έχω τις εξής περιπτώσεις:

• Αν εμφανίζεται ένας αριθμός τέσσερις φορές, τότε σχηματίζονται τέσσερις πετυχημένες γωνίες.

• Αν εμφανίζονται δύο διαφορετικοί αριθμοί, ένας τρεις φορές και ο άλλος μία φορά, τότε σχηματίζεται μία πετυχημένη γωνία.

• Αν εμφανίζονται δύο διαφορετικοί αριθμοί, από δύο φορές ο καθένας, τότε δεν σχηματίζεται πετυχημένη γωνία.

• Αν εμφανίζονται τρεις διαφορετικοί αριθμοί (αναγκαστικά ο ένας δύο φορές και οι άλλοι από μία), τότε σχηματίζονται δύο πετυχημένες γωνία.

• Αν εμφανίζονται τέσσερις διαφορετικοί αριθμοί, τότε σχηματίζονται τέσσερις πετυχημένες γωνίες.

Για κάθε κελί γράφουμε για το πλήθος των αριθμών του κελιού που εμφανίζονται περιττό πλήθος φορών σε αυτό το κελί και για το πλήθος των πετυχημένων γωνιών. Σε κάθε περίπτωση έχουμε . Το άθροισμα όμως όλων των είναι τουλάχιστον . (Αφού κάθε αριθμός θα εμφανίζεται σε ένα κελί περιττό πλήθος φορών.) Άρα το άθροισμα των είναι τουλάχιστον . Δηλαδή οι πετυχημένες γωνίες είναι τουλάχιστον .

Μένει τώρα να δώσουμε κατασκευή με μόνο πετυχημένες γωνίες.

Σε κάθε στήλη αρχικά γράφουμε τον ίδιο αριθμό ώστε γειτονικές στήλες να έχουν διαφορετικούς αριθμούς. Επειδή κάθε γωνία έχει δύο αριθμούς από μία στήλη και έναν άλλο από μια γειτονική, προς το παρών δεν θα υπάρχουν πετυχημένες γωνίες. Επίσης επιλέγουμε η 1η στήλη να έχει το 1, η δεύτερη το 2, η 7η το 3, η 8η το 4, η 143η το 5, η 144η το 6, η 149η το 7 και η 150η το 8.

Αλλάζουμε τώρα τον πρώτο αριθμό της πρώτης στήλης από σε . (Αφού αφαιρεθεί το τετράγωνο. δηλαδή αυτόν που βρίσκεται στην 7η σειρά.) Επίσης των πρώτο αριθμό της 7ης από 3 σε 4, των πρώτο της 144ης από 6 σε 5 και τον πρώτο της 150ης από 8 σε 7. Κάθε αριθμός που αλλάξαμε ανήκει σε μόνο δύο γωνίες εκ των οποίων η μία παρέμεινε μη πετυχημένη ενώ η άλλη έγινε πετυχημένη.

Τώρα κάθε αριθμός εμφανίζεται περιττό πλήθος φορών και έχουμε τέσσερις πετυχημένες γωνίες.

[Doloros]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023
Θέματα της 1ης φάσης για την 9η τάξη, 19 Νοεμβρίου 2022
3. Το σημείο βρίσκεται στην διχοτόμο του τριγώνου . Στην πλευρά δίνεται σημείο , ώστε και . Αν , να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου .

Αν θέσω τότε , .

Ας πούμε ακόμα , . Από το Θ. Διχοτόμου στο και επειδή θα έχω ταυτόχρονα:

Αγια Πετρούπολη_2023_9 φάση.png (19.29 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές

οπότε :

[kfd]

Αν οι ρίζες του P είναι , άρα Όμοια , με
Ζητάμε το με
Άρα η ζητούμενη διαφορά είναι