Επαρχιακός Διαγωνισμός Γυμνασίων 2022 (Κύπρος)

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8989
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Επαρχιακός Διαγωνισμός Γυμνασίων 2022 (Κύπρος)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Νοέμ 18, 2022 9:59 pm

Με κάποια καθυστέρηση αναρτώ και τα θέματα του Γυμνασίου.
Συνημμένα
Α Γυμνασίου.pdf
(119.97 KiB) Μεταφορτώθηκε 66 φορές
Β Γυμνασίου.pdf
(103.2 KiB) Μεταφορτώθηκε 68 φορές
Γ Γυμνασίου.pdf
(99.55 KiB) Μεταφορτώθηκε 87 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Γυμνασίων 2022 (Κύπρος)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Σάβ Νοέμ 19, 2022 10:15 am

ΘΕΜΑ 3 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.
Βρίσκουμε ότι είναι 16,32,64,96,192 από κάθε χρώμα αντίστοιχα (μαύρες, πράσινες ,κόκκινες, άσπρες, γαλάζιες). Συνεπώς για να μην τύχουν πενήντα ίδιου χρώματος, μπορούμε να πάρουμε όλες τις μαύρες και τις πράσινες και σαράντα εννέα από κάθε άλλο χρώμα. Στη συνέχεια, αν πάρουμε άλλη μία, τότε σίγουρα θα συμπληρώσουμε τις πενήντα ίδιου χρώματος. Τότε θα πάρουμε συνολικά 196 μπάλες.

Πράγματι, αν πάρουμε 196, τότε είναι σίγουρα πενήντα ίδιου χρώματος. Έστω προς άτοπο ότι δεν είναι πενήντα ίδιου χρώματος. Τότε θα είναι το πολύ σαράντα εννέα ίδιου χρώματος, άρα θα έχουμε πάρει το πολύ 16+32+3\times 49=195 μπάλες, αυτό όμως είναι άτοπο, εφόσον έχουμε πάρει 196 μπάλες.

Δείτε το κι έτσι: Αν δεν είναι πενήντα ίδιου χρώματος, τότε είναι το πολύ σαράντα εννέα ίδιου χρώματος. Άρα θα έχουμε πάρει το πολύ 16+32+3\times 49=195 μπάλες. Άρα για να συμπληρώσουμε τις πενήντα μπάλες, πρέπει να πάρουμε τουλάχιστον 196 μπάλες.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13270
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Γυμνασίων 2022 (Κύπρος)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 19, 2022 12:09 pm

Γ Γυμνασίου Π.3
Κύπρος Γ-3 2022.png
Κύπρος Γ-3 2022.png (21.58 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές
α) \displaystyle A\widehat DE = A\widehat ED = 60^\circ άρα το ADE είναι ισόπλευρο, οπότε \displaystyle B\widehat AD = E\widehat AC = 30^\circ  = D\widehat BA = E\widehat CA

Επομένως, το ABC είναι ισοσκελές.

β) Φέρνω το ύψος AM και θέτω \displaystyle DM = x \Leftrightarrow AD = 2x. Με Πυθαγόρειο στο ADM είναι:

\displaystyle 4{x^2} = {x^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow \boxed{AD=DE=AE=4} και η περίμετρος του ADE είναι 12.

Πυθαγόρειο στο AΒM, \displaystyle A{B^2} = 36 + 12 = 48 \Leftrightarrow AB = AC = 4\sqrt 3 και η περίμετρος του ABC είναι

4(2\sqrt 3+3). Επομένως, \boxed{\frac{{{\Pi _{ABC}}}}{{{\Pi _{ADE}}}} = \frac{{2\sqrt 3  + 3}}{3}}


Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Γυμνασίων 2022 (Κύπρος)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Σάβ Νοέμ 19, 2022 2:17 pm

ΘΕΜΑ 1 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.
Για να ορίζοντες οι ρίζες, θα πρέπει \alpha \geqslant 4.


Εύκολα βγάζουμε \alpha -4=\left ( \gamma -\sqrt{\beta } \right )^{2}=\gamma ^{2}+\beta -2\gamma \sqrt{\beta }.

Συνεπώς είναι  \displaystyle \sqrt{\beta }=\frac{\gamma ^{2}+\beta -\left ( \alpha -4 \right )}{2\gamma }\in \mathbb{Q}

Αφού ο \beta είναι φυσικός, έπεται ότι είναι και τέλειο τετράγωνο φυσικού. Δηλαδή οι αριθμοί \alpha -4 και \beta είναι
τέλεια τετράγωνα φυσικού. Συνεπώς τώρα εργαζόμαστε πολύ απλά. Πρώτα θα βρούμε τον μικρότερο τριψήφιο. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε τα \alpha ,\beta . Οπότε θα διαλέξουμε \sqrt{\alpha -4}=0,\sqrt{\beta }=3. Τότε είναι \overline{\alpha \beta \gamma }=493. Στη συνέχεια θα βρούμε τον μεγαλύτερο τριψήφιο. Αυτό επιτυγχάνεται όταν \sqrt{\alpha -4}=2,\sqrt{\beta }=3.
Τότε \overline{\alpha \beta \gamma }=895.

Συνοψίζοντας, βρήκαμε \boxed{493\leqslant \overline{\alpha \beta \gamma }\leqslant 895}
τελευταία επεξεργασία από Henri van Aubel σε Σάβ Νοέμ 19, 2022 3:09 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Γυμνασίων 2022 (Κύπρος)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Κυρ Νοέμ 20, 2022 7:02 pm

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3.
Ας είναι x τα μικρά διαμάντια, τότε είναι x-1 τα μεσαία και x-2 τα μεγάλα . Χρησιμοποιήθηκαν x-8
μικρά διαμάντια, x-2 μεσαία και x-3 μεγάλα. Καταλήγουμε στην παρακάτω απλή πρωτοβάθμια εξίσωση:

 \displaystyle \frac{x-8}{9}+\frac{x-2}{6}+\frac{x-3}{5}=88\Leftrightarrow x=188

Συνεπώς όλα τα διαμάντια ήταν 186+187+188=561.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες