ΘΑΛΗΣ 2022

Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates

kfd
Δημοσιεύσεις: 213
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Σάβ Νοέμ 12, 2022 11:49 pm

3.Γ΄ Γυμνασίου
Α-1=πολλ.63 και Α-1=64π+2=63π+π+2, άρα π+2 πολλ.63, π=πολλ.63-2. Επίσης 35000<64π+3<40000 άρα 546,...<π<624,...
Το μόνο πολλ.63 στο εν λόγω διάστημα είναι το 567 άρα π=565 και Α=64*565+3=36163.



Λέξεις Κλειδιά:
paylos
Δημοσιεύσεις: 144
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 8:33 pm
Τοποθεσία: ΝΕΑ ΣΜΥΡΝΗ

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από paylos » Κυρ Νοέμ 13, 2022 12:18 am

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Έστω
\frac{1}{x}=a , \frac{1}{y}=b , \frac{1}{z}=c άρα ,

x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b} , z=\frac{1}{c}

a^{3}+b^{3}+c^{3}=\frac{1}{9} και abc=\frac{1}{27}

Από την ταυτότητα του Euler έχουμε:

a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )\left [ \left ( a-b \right )^{2} +\left ( b-c \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2}\right ]

\frac{1}{9}-\frac{3}{27}=\frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )\left [ \left ( a-b \right )^{2} +\left ( b-c \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2}\right ]

\left ( a-b \right )^{2} +\left ( b-c \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2}=0 αφού a+b+c\neq 0 , άρα

a=b=c=\frac{1}{3} , οπότε:

x=y=z=3


ΠΑΥΛΟΣ
fogsteel
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 06, 2021 3:04 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fogsteel » Κυρ Νοέμ 13, 2022 12:25 am

Αλλιώς για το 3ο της Β' Γυμνασίου.

Στην αρχή ο Γιώργος και ο Δημήτρης έχουν 7x και x καραμέλες αντίστοιχα , ενώ στη σακούλα υπάρχουν x καραμέλες.

Αν ο Γιώργος και ο Δημήτρης φάγανε y καραμέλες , τότε συνολικά έχουμε 9x - y καραμέλες , οπότε εύκολα προκύπτει πως ο Γιώργος έχει x - \frac{y}{9} , ο Δημήτρης έχει 7x - \frac{7y}{9} καραμέλες και στη σακούλα υπάρχουν x - \frac{y}{9}.

Άρα ο Δημήτρης πήρε από την σακούλα τουλάχιστον 7x - \frac{7y}{9} - x = 6x - \frac{7y}{9} , και αφού η σακούλα έχει \frac{y}{9} καραμέλες λιγότερες , τότε πρέπει \frac{y}{9} \geq 6x - \frac{7y}{9} \Leftrightarrow y \geq \frac{3}{4}* 9x , που είναι και το ζητούμενο.


spatharas
Δημοσιεύσεις: 47
Εγγραφή: Παρ Φεβ 12, 2010 12:07 am
Τοποθεσία: ΛΑΜΙΑ
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spatharas » Κυρ Νοέμ 13, 2022 12:43 am

τελευταία επεξεργασία από spatharas σε Παρ Νοέμ 18, 2022 1:39 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8989
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Νοέμ 13, 2022 2:51 am

Για λόγους πλουραλισμού μια ακόμα λύση για το 3ο θέμα της Γ γυμνασίου .

Αφού ο a - 1 είναι πολλαπλάσιο του 7 και του 9 θα είναι πολλαπλάσιο και

του Ε. Κ. Π. δηλαδή του 63. Θα υπάρχουν επομένως θετικοί ακέριοι k\,\,,\,\,m ώστε :

a - 1 = 63k\,\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,a - 3 = 64m\,\,\left( 2 \right). Αντικαθιστώ το a από την \left( 1 \right) στη \left( 2 \right) και προκύπτει:

\boxed{63k - 64m = 2}\,\,\,\left( 3 \right) αυτή γράφεται : 63k - 63m = m + 2 \Leftrightarrow 63\left( {k - m} \right) = m + 2.

Είναι εύκολο να δούμε ότι επαληθεύετε για για {k_0} = 62\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{m_0} = 61

Αν θεωρήσουμε τώρα τους αριθμούς : \boxed{k = {k_0} + 64t}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{m = {m_0} + 63t}\,\,,\,\,t \in {\mathbb{N}^ * } τότε:

63\left( {{k_0} + 64t} \right) - 64\left( {{m_0} + 63t} \right) = 63{k_0} - 64{m_0} = 2 οπότε π. χ. η \left( 1 \right) γίνεται :

a = 1 + 63\left( {62 + 64t} \right) \Rightarrow \boxed{a = 3907 + 4032t} .

Αλλά από τον περιορισμό 35000 < a < 40000 έχω μόνο μια δεκτή τιμή : \boxed{t = 8} και άρα : \boxed{a = 3907 + 4032 \cdot 8 = 36163}.


thepigod762
Δημοσιεύσεις: 78
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
Τοποθεσία: Λάρισα

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από thepigod762 » Κυρ Νοέμ 13, 2022 12:21 pm

Μία πιο διερευνητική λύση για το ΑΠ3 για λόγους πληρότητας.

Γράφουμε n=kt, t \in \mathbb{N}.

Έχουμε kt+2>k^2 \Leftrightarrow k(k-t)<2.

Για k(k-t)<0, είναι t>k \Leftrightarrow kt+2 > k^2 + 2.

Όμως από εκεί πρέπει k^2 \geq k^2 + 2, άτοπο.

Για k(k-t)=0, t=k \Leftrightarrow n=k^2.

Για 2>k(k-t)>0 \Rightarrow k(k-t)=1, οδηγούμαστε σε άτοπο.


Γιώργος Κοτσάλης
aggeliki260807
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 23, 2020 9:35 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη Καλαμαριά

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από aggeliki260807 » Κυρ Νοέμ 13, 2022 1:13 pm

καλησπέρα σε ολους κατα που πιστεύετε οτι θα κυμανθούν οι βάσεις για α λυκ;


:logo: No one can take knowledge away from you :logo:
panosgl2006
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Κυρ Ιουν 06, 2021 11:41 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panosgl2006 » Κυρ Νοέμ 13, 2022 1:25 pm

Καλησπέρα σας!Μήπως ξέρετε πότε θα αναρτηθούν τα θέματα(οι εκφώνησεις ενωω)?Πάντως το site της ΕΜΕ έχει πέσει από της 11.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11859
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#69

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 13, 2022 1:40 pm

panosgl2006 έγραψε:
Κυρ Νοέμ 13, 2022 1:25 pm
Καλησπέρα σας!Μήπως ξέρετε πότε θα αναρτηθούν τα θέματα(οι εκφώνησεις ενωω)?Πάντως το site της ΕΜΕ έχει πέσει από της 11.
Τα θέματα έχουν ήδη αναρτηθεί στην 1η σελίδα του ΘΑΛΗΣ 2022.

ΥΓ Φαντάζομαι ότι με το "ενωω", θέλεις να πεις "εννοώ".


skou
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 13, 2022 4:02 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#70

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από skou » Κυρ Νοέμ 13, 2022 4:15 pm

στο β) ερώτημα να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΒΖΕ είναι ισοσκελές, οι δύο ίσες γωνίες είναι οι γωνία ΕΒΓ = γωνία ΒΕΖ = 45 μοίρες
(εκ παραδρομής γράφετε γωνία ΕΒΓ = γωνία ΒΕΓ = 45 μοίρες)
Ευχαριστώ
pana1333 έγραψε:
Σάβ Νοέμ 12, 2022 10:46 pm
Πρόβλημα 2 Β γυμνασίου

Αφού

AB=A\Gamma =AE

το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές άρα γωνία A\hat{E}B=\omega.

Επομένως

A\hat{B}E+\hat{A}+\Gamma \hat{A}E+A\hat{E}\Gamma=180^{\circ} άρα \hat{A}=180-90-2\omega =90-2\omega

Επίσης έστω γωνία E\hat{B}\Gamma =a^{\circ}.

Άρα γωνία \hat{B}=\hat{\Gamma }=\omega +a..

Τότε \hat{A}+\hat{B}+\hat{\Gamma }=180^{\circ}\Leftrightarrow90-2\omega +\omega +a+\omega +a=180^{\circ} άρα a=45^{\circ}

Επομένως \hat{B}=\hat{\Gamma}=45+\omega


Β) Έστω \Delta \hat{\Gamma }Z=k^{\circ} τότε \hat{\Gamma }+A\hat{\Gamma }\Delta +\Delta \hat{\Gamma }Z=180^{\circ}

Άρα 45+\omega +90+k=180\Leftrightarrow k=45-\omega άρα E\hat{\Gamma }Z=90-\omega

επομένως για το τρίγωνο ΕΖΓ ισχύει

E\hat{\Gamma }Z+\hat{Z }+\Gamma \hat{E}Z=180^{\circ}\Leftrightarrow \Gamma \hat{E }Z=\omega ^{\circ}

Επίσης είναι B\hat{E }\Gamma =45-\omega αφού A\hat{E }\Gamma=45^{\circ} και A\hat{E }B =\omega^{\circ}

Άρα

E\hat{B }\Gamma=B\hat{E }\Gamma =45^{\circ}

άρα το τρίγωνο ΒΖΕ είναι ισοσκελές άρα ΒΖ=ΕΖ


Gtrik
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 13, 2022 8:29 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#71

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Gtrik » Κυρ Νοέμ 13, 2022 8:36 pm

Γεια σας! Είμαι μαθητής της Β λυκείου, που αγαπά τα μαθηματικά και έχει στόχο να πάει καλά στον Αρχιμήδη. Δυστυχώς όμως είχα μια ατυχία στον φετινό Θαλή. Έλυσα το πρώτο πρόβλημα, όμως το δεύτερο δεν μου έβγαινε, γιατί δεν μου ήρθε να κάνω το πρόσημο τριωνυμου, όμως το έγραψα μέχρι εκεί, έθεσα σωστα και μάντεψα την λύση και την έγραψα. Στο τρίτο πρόβλημα πρόλαβα μόνο τις δυο περιπτώσεις για το σημείο Δ. Κρίνετε ότι έχω περάσει? Είμαι σε δίλημμα για το αν θα ξεκινήσω να προετοιμάζομαι για τον Αρχιμήδη :wallbash: :wallbash:


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2928
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#72

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 13, 2022 8:48 pm

Gtrik έγραψε:
Κυρ Νοέμ 13, 2022 8:36 pm
Γεια σας! Είμαι μαθητής της Β λυκείου, που αγαπά τα μαθηματικά και έχει στόχο να πάει καλά στον Αρχιμήδη.
....

Είμαι σε δίλημμα για το αν θα ξεκινήσω να προετοιμάζομαι για τον Αρχιμήδη :wallbash: :wallbash:
Η πρώτη σου πρόταση απαντά στην ερώτηση σου.


kfd
Δημοσιεύσεις: 213
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#73

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Κυρ Νοέμ 13, 2022 9:09 pm

B΄Λυκείου 1
Oι αριθμοί \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}} και 3\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}\cdot \frac{1}{y^{3}}\cdot \frac{1}{x^{3}}} είναι ίσοι με \frac{1}{9}, άρα από την ανισότητα ΑGM πρέπει να ισχύει \frac{1}{x^{3}}=\frac{1}{y^{3}}=\frac{1}{z^{3}}\Leftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow x=y=z=3.


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2928
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#74

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 13, 2022 9:10 pm

kfd έγραψε:
Κυρ Νοέμ 13, 2022 9:09 pm
B΄Λυκείου 1
Oι αριθμοί \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}} και 3\cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}\cdot \frac{1}{y^{3}}\cdot \frac{1}{x^{3}}} είναι ίσοι με \frac{1}{9}, άρα από την ανισότητα ΑGM πρέπει να ισχύει \frac{1}{x^{3}}=\frac{1}{y^{3}}=\frac{1}{z^{3}}\Leftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow x=y=z=3.
Η ανισότητα ΑΜ-ΓΜ εφαρμόζεται μόνο για θετικούς αριθμούς.


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1043
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#75

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Κυρ Νοέμ 13, 2022 9:37 pm

skou έγραψε:
Κυρ Νοέμ 13, 2022 4:15 pm
στο β) ερώτημα να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΒΖΕ είναι ισοσκελές, οι δύο ίσες γωνίες είναι οι γωνία ΕΒΓ = γωνία ΒΕΖ = 45 μοίρες
(εκ παραδρομής γράφετε γωνία ΕΒΓ = γωνία ΒΕΓ = 45 μοίρες)
Ευχαριστώ

Το διόρθωσα. Ευχαριστώ


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2928
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#76

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 13, 2022 10:17 pm

Τα θέματα και οι επίσημες λύσεις έγιναν διαθέσιμα στην ιστοσελίδα της ΕΜΕ εδώ.
Συνημμένα
thalis_solution_11_11_2022_gymnasio.pdf
(308.06 KiB) Μεταφορτώθηκε 80 φορές
thalis_solution_11_11_2022_lykeio.pdf
(401.73 KiB) Μεταφορτώθηκε 83 φορές


spatharas
Δημοσιεύσεις: 47
Εγγραφή: Παρ Φεβ 12, 2010 12:07 am
Τοποθεσία: ΛΑΜΙΑ
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#77

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spatharas » Κυρ Νοέμ 13, 2022 10:30 pm

τελευταία επεξεργασία από spatharas σε Παρ Νοέμ 18, 2022 1:35 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


ΠΟΔΑΡΑΣ ΑΓΑΜΕΜΝΩΝ
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 11, 2022 6:55 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#78

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΟΔΑΡΑΣ ΑΓΑΜΕΜΝΩΝ » Κυρ Νοέμ 13, 2022 10:54 pm

kfd έγραψε:
Σάβ Νοέμ 12, 2022 11:49 pm
3.Γ΄ Γυμνασίου
Α-1=πολλ.63 και Α-1=64π+2=63π+π+2, άρα π+2 πολλ.63, π=πολλ.63-2. Επίσης 35000<64π+3<40000 άρα 546,...<π<624,...
Το μόνο πολλ.63 στο εν λόγω διάστημα είναι το 567 άρα π=565 και Α=64*565+3=36163.
Θεωρείτε πως ήταν εύκολο πρόβλημα;


Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 164
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#79

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Δευ Νοέμ 14, 2022 7:49 am

ΠΟΔΑΡΑΣ ΑΓΑΜΕΜΝΩΝ έγραψε:
Κυρ Νοέμ 13, 2022 10:54 pm
kfd έγραψε:
Σάβ Νοέμ 12, 2022 11:49 pm
3.Γ΄ Γυμνασίου
Α-1=πολλ.63 και Α-1=64π+2=63π+π+2, άρα π+2 πολλ.63, π=πολλ.63-2. Επίσης 35000<64π+3<40000 άρα 546,...<π<624,...
Το μόνο πολλ.63 στο εν λόγω διάστημα είναι το 567 άρα π=565 και Α=64*565+3=36163.
Θεωρείτε πως ήταν εύκολο πρόβλημα;
Εγώ το θεωρώ πανεύκολο.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5730
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

#80

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Νοέμ 14, 2022 8:19 am

Καλημέρα καλημέρα.
Μια ακόμα λύση για το 1ο θέμα της Β΄ Λυκείου. Και αυτό επειδή έχει σημασία η πολυφωνία επίλυσης ενός θέματος, οπότε να μην απελπίζονται οι μαθητές αν βλέπουν μία πιο εξειδικευμένη, κατά την άποψη τους ή κατά την άποψη των διδασκόντων τους, λύση. Ένα καλό θέμα (Όπως κατά την άποψη μου αυτό) δίνει την δυνατότητα να αναδεικνύεται και αυτός που γνωρίζει κάτι περισσότερο (π.χ. εδώ τη ταυτότητα του Euler), αλλά και εκείνος που δεν γνωρίζει κάτι περισσότερο αλλά το επιλύει με "λιγότερες" στοιχειώδεις γνώσεις.

Καταρχάς κατανοούμε ότι η πρώτη σχέση \displaystyle{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ne 0} θα πρέπει να ληφθεί υπόψη, ίσως ως παράγοντας γινομένου ίσου με το μηδέν.
Έχουμε από τη δεύτερη των εξισώσεων:
\displaystyle{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)^3} - 3\frac{1}{{xy}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) + {\left( {\frac{1}{z}} \right)^3} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow }
\displaystyle{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^3} - 3\frac{1}{z}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) - 3\frac{1}{{xy}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) + \frac{3}{{xyz}} = \frac{1}{9}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{xyz = 27} }
\displaystyle{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\left[ {{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2} - \frac{3}{{xy}} - \frac{3}{{yz}} - \frac{3}{{zx}}} \right] = 0 \Leftrightarrow }
\displaystyle{{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{y}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{z}} \right)^2} - \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{y} - \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{z} - \frac{1}{z}\cdot \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow }
\displaystyle{{\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{y} - \frac{1}{z}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{z} - \frac{1}{x}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = y = z},
τελικά \displaystyle{x = y = z = 3.}

(*) Η μόνη γνώση που χρειάζεται για την λύση αυτή είναι η
{\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right).

(**) Ας μη ξεχνάμε βέβαια και το ότι βιώνουμε εποχή των «Συμβολιστικών Μαθηματικών».


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Αγγελα και 1 επισκέπτης