ΘΑΛΗΣ 2022
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Ας μου επιτραπεί και εμένα να σχολιάσω.
1ον: Ο Ευκλείδης είχε σταματήσει λόγω covid τις τελευταίες 2 χρονιές. Προφανώς και θεωρητικά φέτος θα μπορούσε να επανέλθει. Κατά την γνώμη μου πιστεύω οτι έχει βολέψει η κατάργηση ή ματαίωση του (παρτε το όπως θέλετε) για λόγους χρόνου.
Τα τελευταία χρόνια είναι πολύ μεγάλη η αύξηση των μαθητών που συμμετέχουν στο διαγωνισμό και τα χρονικά περιθώρια είναι αρκετά στενά από τις 10-11 Νοεμβρίου έως τα μέσα Ιανουαρίου (παρεμβάλονται και οι γιορτές).
2ον Τα τελευταία 2 χρόνια που ο Θαλής γίνεται εντός σχολικού ωραρίου έχει γίνει πιο γνωστός προς όλους τους μαθητές με αποτέλεσμα να αυξηθούν πολύ οι συμμετοχές και να φέρουν τα παιδιά πιο κοντά στα μαθηματικά.
Ο σκοπός δεν είναι να φτάσουν όλοι στον Αρχιμήδη ή να διακριθούν σε αυτόν αλλά η συμμετοχή σε ένα διαγωνισμό που είναι πολύ πιο απαιτητικός από ένα απλό σχολικό διαγώνισμα. Δίνει την δυνατότητα σε παιδιά που είναι καλοί στα μαθηματικά να δοκιμάσουν τις δυνάμεις τους και όχι απαραίτητα να διακριθούν. Ακόμα και μια προετοιμασία έστω και 4-5 ημερών μόνο καλό μπορεί να προσφέρει.
Για τα θέματα δεν θα μπω σε επίπεδο σχολιασμού γιατί είμαι ο πλέον αναρμόδιος.
Για τα παιδιά της Γ Γυμνασίου, παιδιά 45ο (μοίρες)
1ον: Ο Ευκλείδης είχε σταματήσει λόγω covid τις τελευταίες 2 χρονιές. Προφανώς και θεωρητικά φέτος θα μπορούσε να επανέλθει. Κατά την γνώμη μου πιστεύω οτι έχει βολέψει η κατάργηση ή ματαίωση του (παρτε το όπως θέλετε) για λόγους χρόνου.
Τα τελευταία χρόνια είναι πολύ μεγάλη η αύξηση των μαθητών που συμμετέχουν στο διαγωνισμό και τα χρονικά περιθώρια είναι αρκετά στενά από τις 10-11 Νοεμβρίου έως τα μέσα Ιανουαρίου (παρεμβάλονται και οι γιορτές).
2ον Τα τελευταία 2 χρόνια που ο Θαλής γίνεται εντός σχολικού ωραρίου έχει γίνει πιο γνωστός προς όλους τους μαθητές με αποτέλεσμα να αυξηθούν πολύ οι συμμετοχές και να φέρουν τα παιδιά πιο κοντά στα μαθηματικά.
Ο σκοπός δεν είναι να φτάσουν όλοι στον Αρχιμήδη ή να διακριθούν σε αυτόν αλλά η συμμετοχή σε ένα διαγωνισμό που είναι πολύ πιο απαιτητικός από ένα απλό σχολικό διαγώνισμα. Δίνει την δυνατότητα σε παιδιά που είναι καλοί στα μαθηματικά να δοκιμάσουν τις δυνάμεις τους και όχι απαραίτητα να διακριθούν. Ακόμα και μια προετοιμασία έστω και 4-5 ημερών μόνο καλό μπορεί να προσφέρει.
Για τα θέματα δεν θα μπω σε επίπεδο σχολιασμού γιατί είμαι ο πλέον αναρμόδιος.
Για τα παιδιά της Γ Γυμνασίου, παιδιά 45ο (μοίρες)
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 22
- Εγγραφή: Τετ Φεβ 24, 2021 6:09 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Καλημέρα!! Μία λύση στο θέμα 3 της τρίτης Γυμνασίου.
Θέμα 3
Έχουμε ότι ο είναι κοινό πολλαπλάσιο των άρα είναι πολλαπλάσιο και του
Τώρα είναι:
Άρα τελικά
Επομένως
Συνεπώς
Θέμα 3
Έχουμε ότι ο είναι κοινό πολλαπλάσιο των άρα είναι πολλαπλάσιο και του
Τώρα είναι:
Άρα τελικά
Επομένως
Συνεπώς
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
-
- Δημοσιεύσεις: 204
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ
Εξισώνοντας τα πρώτα μέλη, δηλαδή για παίρνουμε:
Αφαιρώντας τις 2 παραπάνω σχέσεις κατά μέλη, βρίσκουμε ότι και με αντικατάσταση έχουμε ότι .
Για η δίνει , λόγω της .
Για η δίνει , λόγω της .
Επομένως .
Εξισώνοντας τα πρώτα μέλη, δηλαδή για παίρνουμε:
Αφαιρώντας τις 2 παραπάνω σχέσεις κατά μέλη, βρίσκουμε ότι και με αντικατάσταση έχουμε ότι .
Για η δίνει , λόγω της .
Για η δίνει , λόγω της .
Επομένως .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 2
Πρώτα παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο με κέντρο και διάμετρο
Συνεπώς .
Οπότε .
Επομένως .
Στο ορθογώνιο τρίγωνο
Νόμος των ημιτόνων στο τρίγωνο
Από είναι:
Επιπλέον
Άρα από παίρνουμε
Συνεπώς από (5) προκύπτει ότι
.
Εδώ ακριβώς η απόδειξη τελείωσε.
Πρώτα παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο με κέντρο και διάμετρο
Συνεπώς .
Οπότε .
Επομένως .
Στο ορθογώνιο τρίγωνο
Νόμος των ημιτόνων στο τρίγωνο
Από είναι:
Επιπλέον
Άρα από παίρνουμε
Συνεπώς από (5) προκύπτει ότι
.
Εδώ ακριβώς η απόδειξη τελείωσε.
-
- Δημοσιεύσεις: 204
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 - Β' ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέτοντας και η αρχική σχέση γράφεται:
και
Θέτοντας και η αρχική σχέση γράφεται:
και
τελευταία επεξεργασία από Manolis Petrakis σε Σάβ Νοέμ 12, 2022 9:25 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Α λυκείου Γεωμετρία .
Το τετράπλευρο είναι από κατασκευής παραλληλόγραμμο και άρα:
α)
β) Η από το παράλληλη στην τέμνει τις στα αντίστοιχα με άμεσες συνέπειες :
Το είναι ισοσκελές με κορυφή το και έτσι , Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο και έτσι ,
Η πιο πάνω σχέση μας εγγυάται ότι και το τετράπλευρο:
είναι παραλληλόγραμμο , οπότε και λόγω της ,
Δηλαδή και το τετράπλευρο , είναι παραλληλόγραμμο με συνέπεια: .
Το τετράπλευρο είναι από κατασκευής παραλληλόγραμμο και άρα:
α)
β) Η από το παράλληλη στην τέμνει τις στα αντίστοιχα με άμεσες συνέπειες :
Το είναι ισοσκελές με κορυφή το και έτσι , Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο και έτσι ,
Η πιο πάνω σχέση μας εγγυάται ότι και το τετράπλευρο:
είναι παραλληλόγραμμο , οπότε και λόγω της ,
Δηλαδή και το τετράπλευρο , είναι παραλληλόγραμμο με συνέπεια: .
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Σχεδιάζω τον κύκλο . Για κάθε σημείο του ελάσσονος τόξου , είναι : .
Ειδικότερα αν , προκύπτουν και : , .
-
- Δημοσιεύσεις: 8
- Εγγραφή: Τρί Οκτ 18, 2022 9:03 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Μία κατά την γνώμη μου πρωτότυπη λύση στο ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 της Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1) Έστω σημείο το οποίο ανήκει στο ημιεπίπεδο που ορίζεται ανάμεσα από την και όπως στο σχήμα, τότε ο γεωμετρικός τόπος όλων των γωνιών που ικανοποιούν την σχέση και ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο είναι το τόξο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και ομοίως για την γωνία. Αυτοί τέμνονται μόνο στα , σημεία και επομένως το είναι το μοναδικό σημείο που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες. Παρόμοια δουλεύουμε και με τα άλλα ημιεπίπεδα και αποδεικνύουμε ότι δεν υπάρχει σε αυτά.(Στον διαγωνισμό ο χρόνος ήταν ελάχιστος για να διακρίνουμε όλες αυτές τις περιπτώσεις και προσωπικά δεν το έκανα για να προλάβω το 2ο ερώτημα).
2) Με μια γρήγορη ματιά βλέπουμε πως ΜΑΛΛΟΝ και γωνία . Επιπλέον αποδείξαμε ότι το είναι μοναδικό και επομένως η γωνία είναι και αυτή μοναδική.
Κατασκευάζουμε λοιπόν ευθύγραμμο τμήμα έτσι ώστε γωνία προς το . Αφού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο ισχύει και γωνία =>γωνία . Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή. Άρα και . Όμως το είναι το μοναδικό σημείο για το οποίο ισχύει αυτή η ιδιότητα και άρα έπεται ότι και επομένως γωνία .
1) Έστω σημείο το οποίο ανήκει στο ημιεπίπεδο που ορίζεται ανάμεσα από την και όπως στο σχήμα, τότε ο γεωμετρικός τόπος όλων των γωνιών που ικανοποιούν την σχέση και ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο είναι το τόξο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και ομοίως για την γωνία. Αυτοί τέμνονται μόνο στα , σημεία και επομένως το είναι το μοναδικό σημείο που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες. Παρόμοια δουλεύουμε και με τα άλλα ημιεπίπεδα και αποδεικνύουμε ότι δεν υπάρχει σε αυτά.(Στον διαγωνισμό ο χρόνος ήταν ελάχιστος για να διακρίνουμε όλες αυτές τις περιπτώσεις και προσωπικά δεν το έκανα για να προλάβω το 2ο ερώτημα).
2) Με μια γρήγορη ματιά βλέπουμε πως ΜΑΛΛΟΝ και γωνία . Επιπλέον αποδείξαμε ότι το είναι μοναδικό και επομένως η γωνία είναι και αυτή μοναδική.
Κατασκευάζουμε λοιπόν ευθύγραμμο τμήμα έτσι ώστε γωνία προς το . Αφού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο ισχύει και γωνία =>γωνία . Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή. Άρα και . Όμως το είναι το μοναδικό σημείο για το οποίο ισχύει αυτή η ιδιότητα και άρα έπεται ότι και επομένως γωνία .
- Συνημμένα
-
- Screenshot_20221112_090453.png (48.11 KiB) Προβλήθηκε 1239 φορές
τελευταία επεξεργασία από CarlusMagnsenYourDad22 σε Κυρ Νοέμ 13, 2022 1:20 pm, έχει επεξεργασθεί 7 φορές συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 204
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2020 3:19 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ
Έχουμε
Επομένως
Ακόμη
Άρα
Όμως
Η ισότητα για και αντίστοιχα.
Άλλος τρόπος
Αν αντικαταστήσουμε το τότε μετά τις πράξεις θα καταλήξουμε στο:
και συνεχίζουμε με όμοιο τρόπο.
Έχουμε
Επομένως
Ακόμη
Άρα
Όμως
Η ισότητα για και αντίστοιχα.
Άλλος τρόπος
Αν αντικαταστήσουμε το τότε μετά τις πράξεις θα καταλήξουμε στο:
και συνεχίζουμε με όμοιο τρόπο.
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
ΘΕΜΑ 3 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Έχουμε .
Αφού ο είναι περιττός, αν ο είναι ακέραιος, τότε ο είναι περιττός, ο περιττός, ενώ o και o είναι άρτιοι.
Άρα .
Αφού το είναι περιττό πολ/σιο του , θα είναι .
Φιλικά,
Αχιλλέας
Έχουμε .
Αφού ο είναι περιττός, αν ο είναι ακέραιος, τότε ο είναι περιττός, ο περιττός, ενώ o και o είναι άρτιοι.
Άρα .
Αφού το είναι περιττό πολ/σιο του , θα είναι .
Φιλικά,
Αχιλλέας
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
B Λυκείου Π.3
Για τον εντοπισμό του Κατασκευάζω το τόξο χορδής που δέχεται γωνία και τόξο χορδής που δέχεται γωνία Τα δύο αυτά τόξα έχουν ήδη ένα κοινό σημείο το άρα θα έχουν και δεύτερο μοναδικό κοινό σημείο, έστω
Για τον εντοπισμό του Κατασκευάζω το τόξο χορδής που δέχεται γωνία και τόξο χορδής που δέχεται γωνία Τα δύο αυτά τόξα έχουν ήδη ένα κοινό σημείο το άρα θα έχουν και δεύτερο μοναδικό κοινό σημείο, έστω
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Μία προσέγγιση στο ΘΕΜΑ 1 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ.
Αφού έχουμε βρει προφανώς θα είναι
Τώρα μένει να βρούμε την ελάχιστη τιμή, δηλαδή θέλουμε το μέγιστο του .
Από την ανισότητα αριθμητικού -γεωμετρικού μέσου παίρνουμε
Συνεπώς θα είναι
Αφού έχουμε βρει προφανώς θα είναι
Τώρα μένει να βρούμε την ελάχιστη τιμή, δηλαδή θέλουμε το μέγιστο του .
Από την ανισότητα αριθμητικού -γεωμετρικού μέσου παίρνουμε
Συνεπώς θα είναι
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Γεωμετρία Β Λυκείου
Του Θανάση () Η απάντηση είναι ότι πιο απλό .
Ας δούμε όμως και κάτι , που βλέπω είναι παρόμοιο με του Γιώργου του Βισβίκη.
Φέρνω τα ύψη του και τα σημεία τους , για τα οποία :
. Τα είναι οι φορείς των μεσοκαθέτων στις . Οι κύκλοι , προφανώς μη ταυτιζόμενοι, θα διέρχονται από το και ο πρώτος από το και ο άλλος από το .
Αναγκαστικά τώρα θα τέμνονται σε ένα , ακόμη ,ακριβώς σημείο , έστω .
Τα υπόλοιπα ειπώθηκαν πιο πάνω .
Του Θανάση () Η απάντηση είναι ότι πιο απλό .
Ας δούμε όμως και κάτι , που βλέπω είναι παρόμοιο με του Γιώργου του Βισβίκη.
Φέρνω τα ύψη του και τα σημεία τους , για τα οποία :
. Τα είναι οι φορείς των μεσοκαθέτων στις . Οι κύκλοι , προφανώς μη ταυτιζόμενοι, θα διέρχονται από το και ο πρώτος από το και ο άλλος από το .
Αναγκαστικά τώρα θα τέμνονται σε ένα , ακόμη ,ακριβώς σημείο , έστω .
Τα υπόλοιπα ειπώθηκαν πιο πάνω .
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Μια εναλλακτική λύση για το πρώτο πρόβλημα της Γ' Λυκείου:
Θεωρούμε συνάρτηση:
, με: , αφού: .
Θα είναι:
ή ή
Για ή , παίρνουμε τοπικό μέγιστο 16, και για παίρνουμε τοπικό ελάχιστο 10.
Όμως, παρατηρούμε ότι τα 0, 2 είναι τα άκρα του πεδίου ορισμόυ της f, συνεπώς το 16 θα αποτελεί ολικό μέγιστο και το 10 ολικό ελάχιστο, αφού η f είναι συνεχής. Άρα θα είναι:
Θεωρούμε συνάρτηση:
, με: , αφού: .
Θα είναι:
ή ή
Για ή , παίρνουμε τοπικό μέγιστο 16, και για παίρνουμε τοπικό ελάχιστο 10.
Όμως, παρατηρούμε ότι τα 0, 2 είναι τα άκρα του πεδίου ορισμόυ της f, συνεπώς το 16 θα αποτελεί ολικό μέγιστο και το 10 ολικό ελάχιστο, αφού η f είναι συνεχής. Άρα θα είναι:
τελευταία επεξεργασία από ohgreg σε Σάβ Νοέμ 12, 2022 1:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ντερέκης Γρηγόρης
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Καλημέρα και πάλι!! Μία λύση στο ΘΕΜΑ 2 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.
(1) Το είναι το περίκεντρο του τριγώνου οπότε
(2) Προφανώς με υποτείνουσες άρα
Συνεπώς
Επιπλέον έχουμε
Άρα τελικά
(1) Το είναι το περίκεντρο του τριγώνου οπότε
(2) Προφανώς με υποτείνουσες άρα
Συνεπώς
Επιπλέον έχουμε
Άρα τελικά
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Γ Λυκείου Π.2
άρα το είναι εγγράψιμο, οπότε
δηλαδή και τα είναι εγγράψιμα, απ' όπου
και το ζητούμενο έπεται.
άρα το είναι εγγράψιμο, οπότε
δηλαδή και τα είναι εγγράψιμα, απ' όπου
και το ζητούμενο έπεται.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες