BMO 2022

[silouan]

Διεξήχθη σήμερα στην Κύπρο η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα.
Παραθέτω τα θέματα.
Καλή επιτυχία στους Έλληνες και Κύπριους μαθητές
Καλή δύναμη στον Αλέξανδρο Συγκελάκη (αρχηγός) και Θάνο Μάγκο (υπαρχηγός) με την διόρθωση.

Πρόβλημα 1.

Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο τέτοιο, ώστε με περιγεγραμμένο κύκλο κέντρου . Έστω και οι εφαπτομένες του στα σημεία και αντίστοιχα, οι οποίες τέμνονται στο . Έστω το ίχνος της καθέτου από το σημείο στο ευθύγραμμο τμήμα . Η παράλληλη από το σημείο προς την ευθεία τέμνει την στο σημείο . Να δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος .

Πρόβλημα 2.


Έστω και θετικοί ακέραιοι με τέτοιοι, ώστε να ισχύουν τα εξής:
(i) ο αριθμός διαιρεί τον ,
(ii) ο αριθμός διαιρεί τον ,
(iii) ο αριθμός διαιρεί τον .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα υποσύνολο του συνόλου των θετικών διαιρετών του αριθμού τέτοιο, ώστε το άθροισμα των στοιχείων του να διαιρείται από το αλλά όχι από το .

Πρόβλημα 3.


Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες, ώστε
για κάθε .

Πρόβλημα 4.


Ένα τετράγωνο διαστάσεων διαιρείται σε μοναδιαία τετραγωνάκια, όπου είναι ένας δεδομένος περιττός θετικός ακέραιος. Αρχικά, ο Διόνυσος χρωματίζει κάθε τετραγωνάκι κόκκινο ή μπλε. Ένας βάτραχος μπορεί να πηδήξει από ένα τετραγωνάκι σε ένα άλλο αν και μόνο αν αυτά έχουν το ίδιο χρώμα και επιπλέον τουλάχιστον μία κοινή κορυφή. Μετά, ο Ξανθίας παρατηρεί τον χρωματισμό των τετραγώνων και έπειτα τοποθετεί βάτραχους στα τετραγωνάκια με τέτοιο τρόπο, ώστε σε κάθε ένα από τα τετραγωνάκια κάποιος βάτραχος να μπορεί να φτάσει με πεπερασμένου πλήθους (πιθανόν και μηδέν) πηδήματα. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του για την οποία αυτό είναι πάντοτε δυνατό ανεξάρτητα από τον χρωματισμό που επέλεξε ο Διόνυσος.

[achilleas]

Πρόβλημα 1.

Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο τέτοιο, ώστε με περιγεγραμμένο κύκλο κέντρου . Έστω και οι εφαπτομένες του στα σημεία και αντίστοιχα, οι οποίες τέμνονται στο . Έστω το ίχνος της καθέτου από το σημείο στο ευθύγραμμο τμήμα . Η παράλληλη από το σημείο προς την ευθεία τέμνει την στο σημείο . Να δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος .

Έστω το σημείο τομής της με την και το σημείο τομής της και της .

Η είναι η -συμμετροδιάμεσος τους τριγώνου . Επίσης, το είναι το μέσο της και , ενώ το είναι το μέσο της και .

Τα σημεία ανήκουν σε κύκλο διαμέτρου , ο οποίος διέρχεται από το , αφού . Έτσι, αφού το είναι το ύψος προς την υποτείνουσα στο ορθογώνιο τρίγωνο και το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, είναι (από τη δύναμη του σημείου ως προς τον περίκυκλο του ).

Αλλά από τη δύναμη του ως προς τον είναι , οπότε . Άρα

.

Από την παραλληλία των και έπεται ότι

,

οπότε

.

Άρα η είναι παράλληλη στην , και συνεπώς η είναι παράλληλη στην , όπου είναι το σημείο τομής της με την .

Αφού μέσο της έπεται ότι μέσο της , όπως θέλαμε.

Σχόλιο. Δείτε, π.χ., Evan Chen's book, Lemma 4.26(e), σελ. 65). Για περισσότερες ιδιότητες του , δείτε, επίσης, το άρθρο Midpoint of Symmedian Chord, by Srijon Sarkar, Mathematical Reflections, #4, 2021. Συγκρίνετε το παραπάνω πρόβλημα με το πρόβλημα 12, σελ. 18 του άρθρου. (Peru TST 2006/4, Dutch IMO TST 2019 2.3).

[fogsteel]

Πρόβλημα 1.

Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο τέτοιο, ώστε με περιγεγραμμένο κύκλο κέντρου . Έστω και οι εφαπτομένες του στα σημεία και αντίστοιχα, οι οποίες τέμνονται στο . Έστω το ίχνος της καθέτου από το σημείο στο ευθύγραμμο τμήμα . Η παράλληλη από το σημείο προς την ευθεία τέμνει την στο σημείο . Να δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος .

BMO P1.png (408.72 KiB) Προβλήθηκε 3411 φορές

Έστω το σημείο τομής του κύκλου και της , των
Από θεώρημα γωνίας χορδής - εφαπτομένης και την παραλληλία των προκύπτουν τα εξής :


Παρατηρούμε πως τα είναι εγγράψιμα, αφού κάθετα στα αντίστοιχα. Έπεται πως εγγράψιμο , άρα Επομένως εγγράψιμο.
Άρα . Όμως επίσης . Άρα , και αφού το μέσο του , προκύπτει το ζητούμενο

[Αλεξάνδρα Βασιλοπούλου]

BMO_2022_p1.png (62.05 KiB) Προβλήθηκε 3337 φορές

Καλησπέρα σε όλους! Εύχομαι κάθε επιτυχία στις δύο αποστολές!
Για το 1ο:
Αρχικά, η είναι κάθετη στη χορδή (η είναι η πολική του ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου , αλλά η ευθεία που ενώνει τον πόλο με το κέντρο του κύκλου είναι κάθετη στην πολική σημείου-πόλου). Επίσης, αν η τέμνει την στο , αρκεί απλώς να δείξουμε ότι η είναι διάμεσος στο τρίγωνο . Αν η συναντά τη στο , αφού η είναι παράλληλη με τη και η είναι κάθετη στην πρώτη, θα είναι κάθετη και στην τελευταία. Όμως τότε θα ισχύει ότι οι , , , είναι ορθές, κι έτσι, το τετράπλευρο θα είναι εγγράψιμο, όπως ακριβώς και το . Από το γεγονός αυτό, απορρέει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (από τη δύναμη του σημείου Χ ως προς τα τετράπλευρα , ). Το τρίγωνο είναι όμοιο με το τρίγωνο , αφού (από τη δοθείσα παραλληλία) και (σχέση εγγεγραμμένης γωνίας-γωνίας από χορδή κι εφαπτομένη). Όμως και η είναι συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο , άρα η θα είναι διάμεσος στο τρίγωνο , όπως θέλαμε.

[achilleas]

Μέχρι να δούμε περισσότερες λύσεις, ας σημειώσουμε ότι τα θέματα στο AoPS είναι διαθέσιμα εδώ για εύκολη μετάβαση και σύγκριση των ιδεών.

Δύο από Ελλάδα και δύο από UK.

Ας μου επιτραπεί να πω ότι τα θέματα του Σιλουανού και του Ιάσονα είναι τα καλύτερα.

Τα άλλα δύο, όπως προκύπτει, είναι "γνωστά".

Φιλικά,

Αχιλλέας

[Mihalis_Lambrou]

Τα θερμά συγχαρητήρια όλων μας στον Σιλουανό και στον Ιάσονα των οποίων επιλέχτηκαν θέματα κατασκευής τους στην Βαλκανιάδα.

[S.E.Louridas]

Τα θερμά συγχαρητήρια όλων μας στον Σιλουανό και στον Ιάσονα των οποίων επιλέχτηκαν θέματα κατασκευής τους στην Βαλκανιάδα.

NAI, NAI, .... , NAI !!!!!!!.
Επιτρέψτε μου λοιπόν να εκφράσω την χαρά μου που η επιτροπή θεματοδοτών της ΕΜΕ (απόλυτα πλέον λίαν ολιγομελής) ανακοινώνει εδώ και καιρό τα ονόματα των θεματοδοτών των αντίστοιχων θεμάτων που επιλέγονται και λειτουργούν στους διαγωνισμούς, ως ελάχιστο φόρο τιμής προς αυτούς, χαρά συνοδευόμενη και από εύσημα. Είναι κάτι απόλυτα δίκαιο. Απλά να θυμηθώ σε επίπεδο retro, ότι επί των ημερών μου και ως μέλους που ήμουν της επιτροπής θεματοδοτών της Ε.Μ.Ε. (λίαν πολυμελής επιτροπή θεματοδοτών τότε, ενδεικτικά αναφέρω ονόματα, όπως των Βλάμου, Μπόλη, Κοντογιάννη, Μεταξά, Ράππου, Δούναβη, Πουλόπουλου, Τασσόπουλου, Φελλούρη, Τυρλή και άλλων κατά καιρούς Αρίστων και επώνυμων που αυτή τη στιγμή δεν θυμάμαι και από τους οποίους ζητώ συγγνώμη που αυτή τη στιγμή δεν θυμάμαι) για όλα τα θέματα υπογράφαμε ως, επιτροπή διαγωνισμών της ΕΜΕ, όποιος και αν ήταν ο κατασκευστής του θέματος. Από όλα αυτά τα Ελληνικά θέματα υπήρχαν και κάποια και μόνο από διεθνείς διαγωνισμούς που είτε που μπήκαν, είτε συμπεριλήφθηκαν στις sort lists, και που γινόταν για αυτά γνωστός ο αντίστοιχος κατασκευαστής, ήταν μόνο εκείνα που διακρίνονταν κατά την εκεί άποψη της select committee ως ιδιαίτερα καλά και πρωτότυπα θέματα, οπότε εζητείτο από μέλη της select committee το όνομα του κατασκευαστή και έτσι γινόταν αυτό γνωστό. Προφανώς και θυμάμαι τέτοια κατασκευασθέντα θέματα και από τον Μιχάλη Λάμπρου και τον αναφέρω εδώ καθότι δυστυχώς για εμένα δεν είχα την τιμή να ήμουν την ίδια εποχή με αυτόν στην επιτροπή.

[Τσιαλας Νικολαος]

Συγχαρητήρια στην Ελληνική ομάδα για την τεράστια επιτυχία της!!! 2 χρυσά, 2 ασημένια και 2 χάλκινα η συγκομιδή μας! Νομίζω ότι είναι και η καλύτερη επίδοση σε Βαλκανιάδα για την εθνική μας! Πιστεύω ότι και η άκρως φιλική σχέση μεταξύ των παιδιών έδωσε μια έξτρα ώθηση!


Υ. Γ: κάτι μου λέει ότι θα διαπρέψουν και στην IMO

[S.E.Louridas]

2 χρυσά, 2 ασημένια και 2 χάλκινα Διεθνή Μαθηματικά μετάλλια B.M.O.
Εκπληκτική επιτυχία !!!!. Αυτή και αν αποτελεί μία ηχηρή απάντηση στην πρόκληση της εποχής. Συγχαρητήρια Πολλά στους υπερτροπαιούχους στα Μαθηματικά μας αυτούς Έλληνες Μαθητές. Μας κάνατε περήφανους και μας δώσατε ουσιαστική ελπίδα για το αύριο. Η επιτυχία σας αυτή είναι ένας ισχυρός και απόλυτα φυσικός προπομπός για ανάλογη, αν όχι αντίστοιχη και πλέον, επιτυχία και στην Ι.Μ.Ο. Καλή επάνοδο στη πατρίδα που ως κοινωνία σας περιμένει με ανοιχτές τις αγκαλιές της για να σας σφίξει ζεστά και να σας ευχαριστήσει για το δώρο που της κάνατε.

[cretanman]

39η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Κύπρος 2022

Η Ελλάδα ΔΕΥΤΕΡΗ (2η) σε ολόκληρη την διοργάνωση! Μία επιτυχία που συμβαίνει για πρώτη φορά στα 39 χρόνια του διαγωνισμού!! Οι μαθητές μας δεν κάμφθηκαν από τη δυσκολία των θεμάτων. Προσπάθησαν σκληρά, έλυσαν και απόλαυσαν τους καρπούς των κόπων τους.

Τα (εξαιρετικά) αποτελέσματα των μαθητών μας:

6 μετάλλια σε ισάριθμους μαθητές! Και τί μετάλλια...

Δύο Χρυσά (Ορέστης Λιγνός, Πρόδρομος Φωτιάδης)
Δύο Αργυρά (Παναγιώτης Λιάμπας, Μάνος Πετράκης)
Δύο Χάλκινα (Γιώργος Γεωργελές, Γιώργος Τζαχρήστας)

Δίκαια λοιπόν μπορώ να χαρακτηρίσω τη σημερινή μέρα ως μέρα της Ελλάδας και ως μέρα των νικητών!! Μία μέρα που προσωπικά θα μείνει χαραγμένη στο μυαλό μου για όλες αυτές τις επιτυχίες της Ελληνικής Αποστολής και των πραγματικά εξαιρετικών παιδιών/μελών τις οποίες μπόρεσα να ζήσω από κοντά! Κούραση, άγχος, διαπραγματεύσεις, χαμόγελα και είμαι βέβαιος ότι όλοι φεύγουμε με εξαιρετικές αναμνήσεις.

Οι μαθητές μας άψογοι καθ΄ όλη τη διάρκεια της διοργάνωσης. Οι διοργανωτές και φίλοι Κύπριοι πολύ οργανωμένοι από την αρχή (παραλαβές των αποστολών από το αεροδρόμιο Λάρνακας), τη διεξαγωγή του διαγωνισμού, τη διόρθωση των γραπτών μέχρι και την τελευταία ημέρα της αναχώρησης . Τους ευχαριστούμε για όλη τους την προσπάθεια για μία άρτια από κάθε άποψη ΒΜΟ!

Δε θα μπορούσα να μην αναφερθώ ξεχωριστά και στον αγαπητό μου κουμπάρο, Σωτήρη Λοϊζιά ο οποίος έδωσε για άλλη μία φορά την ψυχή του για μία άρτια διοργάνωση. Ο Δημήτρης Χριστοφίδης ως πρόεδρος της Επιτροπής Επιλογής Προβλημάτων και ως Chairman στη διαδικασία της βαθμολόγησης διευκόλυνε την όλη τη διαδικασία με τις παρεμβάσεις του και βοήθησε ώστε η διαδικασία της βαθμολόγησης να είναι άψογη και κυρίως δίκαιη, αμερόληπτη και αξιόπιστη! Χάρηκα επίσης πολύ που είδα τους φίλους Θεόκλητο Παραγυιού, Δημήτρη Καραντάνο, Γρηγόρη Μακρίδη και πολλούς άλλους φίλους που εμπλέκονταν στη διοργάνωση του διαγωνισμού.

Θα ήταν παράλειψή μου να μην αναφέρω ότι τα προβλήματα 2 και 3 του διαγωνισμού ήταν του Σιλουανού Μπραζιτίκου και του Ιάσονα Προδρομίδη αντίστοιχα και σχεδόν σε όλες τις προτάσεις που έγιναν, υπήρχε τουλάχιστον ένα από αυτά, που σημαίνει ότι άρεσαν σχεδόν σε όλους τους αρχηγούς. Ήταν όμορφα και πρωτότυπα!


Στο τελευταίο Jury των αρχηγών έγινε αναφορά για το έργο του Βαγγέλη Ψύχα που μας άφησε ξαφνικά πριν από μερικές εβδομάδες και τη συμβολή του (με τα εξαιρετικά προβλήματα γεωμετρία) που έστελνε στους διαγωνισμούς τόσο της Ελλάδας, αλλά και στους διεθνείς (Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα και Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα).

Πολλά συγχαρητήρια και στην ομάδα της Κύπρου για τα 3 συνολικά χάλκινα μετάλλια (2 για την ομάδα Α και 1 για την ομάδα Β).

Τέλος, ευχαριστώ και τον Θάνο Μάγκο, υπαρχηγό της Ελληνικής Αποστολής με τον οποίο συνεργαστήκαμε καθ' όλη τη διάρκεια της ΒΜΟ αλλά κυρίως στη δύσκολη διαδικασία της διόρθωσης και υποστήριξης των γραπτών των μαθητών μας.

Εύχομαι η εξαιρετική παρουσία της Εθνικής να συνεχιστεί για φέτος και στη Διεθνή Ολυμπιάδα Μαθηματικών στη Νορβηγία αλλά και τα επόμενα χρόνια στις επόμενες διοργανώσεις. Το υπόβαθρο υπάρχει και είναι πολύ στέρεο!

1.jpg (44.21 KiB) Προβλήθηκε 2511 φορές

2.jpg (58.01 KiB) Προβλήθηκε 2511 φορές

3.jpg (67.49 KiB) Προβλήθηκε 2511 φορές

4.jpg (57.92 KiB) Προβλήθηκε 2511 φορές

Αλέξανδρος Συγκελάκης

[achilleas]

Θερμά συγχαρητήρια σε ολόκληρη την αποστολή!

Μπράβο στα παιδιά! Μπράβο στο Θάνο και τον Αλέξανδρο!

Η ομάδα αυτή έχει λαμπρό μέλλον, αφού τα περισσότερα μέλη της θα έχουν τη δυνατότητα να εκπροσωπήσουν τη χώρα μας και σε επόμενους μαθηματικούς διαγωνισμούς. Στην 40η Βαλκανιάδα του χρόνου, θα πιάσουν 40αρια.

Έως τότε, προηγούνται κι άλλοι διαγωνισμοί. Σε δύο μήνες περίπου, ξεκινά η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Εύχομαι καλή δύναμη και καλή συνέχεια.

[george visvikis]

Συγχαρητήρια σε όλη την αποστολή!

Καλή συνέχεια με την ΙΜΟ

[Soteris]

Τώρα που τέλειωσε η Βαλκανιάδα και οι παλμοί μου επέστρεψαν σε φυσιολογικά επίπεδα, ας πως και εγώ λίγα λόγια.

Τα θερμά μου συγχαρητήρια στους πρωταγωνιστές του διαγωνισμού, που δεν είναι άλλοι από τους διαγωνιζόμενους. Εκπληκτική η εμφάνιση της Ελληνικής ομάδας, η οποία κατάφερε να μαζέψει 6 μετάλλια (2-2-2), καθώς και να τερματίσει στη δεύτερη θέση της κατάταξης. Οι δύο ομάδες της Κύπρου εξασφάλισαν 3 χάλκινα μετάλλια και 3 εύφημες μνείες. Πολλά μπράβο σε όλα τα παιδιά και καλή επιτυχία στην επερχόμενη ΙΜΟ.

Άξιοι συγχαρητηρίων και οι αρχηγοί της Ελληνικής αποστολής. Ο αρχηγός και κουμπάρος μου Αλέξανδρος Συγκελάκης και ο υπαρχηγός και φίλτατος Θάνος Μάγκος. Αφιερώσατε όλο τον διαθέσιμο χρόνο που είχατε, για να στηρίξετε με όλες σας τις δυνάμεις την προσπάθεια των παιδιών της ομάδας σας. Κάνατε φανταστική δουλειά. Πέραν της χαράς που μας έδωσαν οι ομάδες μας, προσωπικά χάρηκα διπλά που ανταμώσαμε ξανά και είχαμε την ευκαιρία να τα πούμε πρόσωπο με πρόσωπο.

Συγχαρητήρια και στον φίλτατο Σιλουανό Μπραζιτίκο για την επιλογή του προβλήματός του ως ένα από τα τέσσερα του διαγωνισμού. Είμαι βέβαιος ότι θα ακολουθήσουν και άλλα. Τα προβλήματα του διαγωνισμού προτάθηκαν από Ελλάδα (2) και Ηνωμένο Βασίλεο (2). Αξίζει να αναφέρουμε ότι η τετράδα προβλημάτων του διαγωνισμού προτάθηκε από τον Αλέξανδρο.

Άφησα τελευταίο τον συνεργάτη και φίλτατο Δημήτρη Χριστοφίδη, ο οποίος εκτέλεσε άψογα το «ουσιαστικό μέρος» της Βαλκανιάδας, που ήταν ο διαγωνισμός και ο συντονισμός των διορθωτών.

Στην τελευταία συνεδρίαση των αρχηγών, έγινε αναφορά στο έργο του Ευάγγελου Ψύχα και κρατήθηκε ενός λεπτού σιγή. Το γεγονός αυτό καταγράφηκε στα επίσημα πρακτικά της Βαλκανιάδας, ως ελάχιστος φόρος στην μνήμη του.

Τέλος, όσον αφορά το οργανωτικό κομμάτι που με αφορά άμεσα, θέλω να πιστεύω ότι τα πήγαμε καλά. Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο για τα καλά του λόγια.

[Mihalis_Lambrou]

Τοπική εφημερίδα στην Κρήτη έγραψε την είδηση εδώ.

Άλλη μία φορά τα συγχαρητήριά μου σε όλους τους παράγοντες.

Αντιγράφω από την εφημερίδα τα ονόματα όλων των παιδιών της Ελληνικής Ομάδας (που περιλαμβάνει αρκετά μέλη του φόρουμ):

Γεώργιος Γεωργελές (2ο ΓΕΛ Ξάνθης), Ορέστης Λιγνός (Εκπαιδευτήρια «Ελληνική Παιδεία»), Παναγιώτης Λιάμπας (Εκπαιδευτήρια Μαντουλίδη), Εμμανουήλ Πετράκης (2ο ΓΕΛ Αγρινίου), Γεώργιο Τζαχρήστας (Δωδωναία Εκπαιδευτήρια), Πρόδρομος Φωτιάδης ( Γυμνάσιο Λ.Τ. Νικηφόρου Δράμας)

και επίσης εκείνους που έκαναν την προετοιμασία της ομάδας:

Βαγγέλης Ψύχας, Αργύρης Φελλούρης, Σιλουανός Μπραζιτίκος, Αχιλλέας Συνεφακοπουλος, Θάνος Μάγκος, Ιάσονας Προδρομίδης, Αλέξανδρος Συγκελάκης, Ανδρέας Βαρβεράκης.

Και φυσικά την κεφαλή της αποστολής:

Αλέξανδρος Συγκελάκης (αρχηγός) από το Πρότυπο ΓΕΛ Ηρακλείου Κρήτης και Θάνος Μάγκος (υπαρχηγός) από το 2ο ΓΕΛ Νεάπολης Θεσσαλονίκης.

[Nick1990]

Λόγω του μεγάλου φόρτου εργασίας δεν μπαίνω πια τόσο συχνά στο φόρουμ, οπότε με κάποια καθυστέρηση θα πω συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά για την εξαιρετική τους επίδοση!

Όσον αφορά τα προβλήματα τώρα:

Πρόβλημα 1.

Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο τέτοιο, ώστε με περιγεγραμμένο κύκλο κέντρου . Έστω και οι εφαπτομένες του στα σημεία και αντίστοιχα, οι οποίες τέμνονται στο . Έστω το ίχνος της καθέτου από το σημείο στο ευθύγραμμο τμήμα . Η παράλληλη από το σημείο προς την ευθεία τέμνει την στο σημείο . Να δείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος .

Δεν είμαι και ο πιο ειδικός στη γεωμετρία, αλλά για κάποιο λόγο μου φαίνεται ως η πιο φυσική προσέγγιση αυτού του θέματος είναι με χρήση αρμονικών:

Έστω η τομή της με την παράλληλη στην που περνάει από το , και , οι τομές της με την και τον αντίστοιχα. Αρκεί η δέσμη να είναι αρμονική, ή αλλιώς η τετράδα να είναι αρμονική.

Από Θεώρημα Θαλή έχουμε , οπότε αρκεί . Επειδή είναι μέσο της , μπορούμε να θέσουμε

, οπότε η ζητούμενη γράφεται



Όμως η είναι πολική του οπότε η είναι αρμονική και άρα:



δηλαδή αυτό που θέλαμε.

Πρόβλημα 3.

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες, ώστε
για κάθε .

Αυτό το θέμα μου άρεσε ιδιαίτερα (Σιλουανέ δικό σου;), καθώς ένας τρόπος αντιμετώπισης βασίζεται σε μεγάλο βαθμό σε τεχνικές ανάλυσης:

Αρχικά, για κάθε , μπορούμε να πάρουμε ώστε , οπότε



που σημαίνει ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Θέτοντας τώρα στη δοθείσα, γιa και έχουμε:

, και ειδικότερα, για κ.ο.κ παίρνουμε , όπου .

Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις:

1) Αν τότε για και στην αρχική έχουμε:

, όπου για μεγάλα ισχύει , οπότε η μονοτονία της συνάρτησης δίνει:

, δηλαδή που είναι άτοπο αφού η πάει στο άπειρο.

2) Αν τότε η είναι άνω φραγμένη από το , οπότε η μονοτονία της δίνει:

για κάθε , άτοπο και πάλι.

Άρα πρέπει να ισχύει και άρα για στην αρχική παίρνουμε για κάθε , οπότε για κάθε θετικό ακέραιο .

Θέτοντας στην αρχική, όπου θετικός ακέραιος, παίρνουμε , όπου

, άρα για κάθε θετικό ακέραιο και θετικό πραγματικό .

Έστω τώρα ρητός με θετικούς ακέραιους. Από την τελευταία σχέση έχουμε

.

Επομένως, έχουμε για κάθε θετικό ρητό , και αφού η είναι γνησίως αύξουσα, καταλήγουμε ότι για κάθε θετικό πραγματικό .