Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2022
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2022
Πρόβλημα 1. Να βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς , για τους οποίους ισχύει
Πρόβλημα 2. Να βρείτε όλα τα ζευγάρια πρώτων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση
Πρόβλημα 3. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και έστω και τα μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. Έστω το περίκεντρο του τριγώνου και το ίχνος της κάθετης από το σημείο πάνω στην ευθεία . Από το μέσο της φέρουμε παράλληλη προς την , η οποία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
(α) το τρίγωνο είναι ισοσκελές
(β) το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο
Πρόβλημα 4. Έστω ένα υποσύνολο του συνόλου με την ιδιότητα:
Για κάθε με , ισχύει ότι
Να βρείτε το μέγιστο δυνατό πλήθος στοιχείων που μπορεί να έχει το .
Πρόβλημα 2. Να βρείτε όλα τα ζευγάρια πρώτων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση
Πρόβλημα 3. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και έστω και τα μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. Έστω το περίκεντρο του τριγώνου και το ίχνος της κάθετης από το σημείο πάνω στην ευθεία . Από το μέσο της φέρουμε παράλληλη προς την , η οποία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
(α) το τρίγωνο είναι ισοσκελές
(β) το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο
Πρόβλημα 4. Έστω ένα υποσύνολο του συνόλου με την ιδιότητα:
Για κάθε με , ισχύει ότι
Να βρείτε το μέγιστο δυνατό πλήθος στοιχείων που μπορεί να έχει το .
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2022
Είναι,
οπότε προκύπτει . Έστω με . Τότε, αν , εύκολα προκύπτει η μοναδική λύση . Αν τώρα ,
και
οπότε η δοσμένη εξίσωση γράφεται
Χωρίζουμε τώρα το σε ζώνες μήκους η καθεμία, δηλαδή τις
,
,
,
Τότε, αν π.χ. , τότε , οπότε , άρα , άτοπο.
Αν , τότε , άρα , άτοπο.
Συνεχίζοντας έτσι προκύπτει ότι (αν δεν μου ξέφυγε κάτι!) , συνεπώς και
Οπότε, έχουμε τις λύσεις .
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Κυρ Φεβ 20, 2022 12:36 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2022
Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω ότι . Αν τότε , οπότε
άτοπο.
Έστω ότι . Αν , τότε , οπότε , οπότε , άτοπο. Αν τώρα , τότε παίρνοντας είναι
.
Αν ήταν και , τότε , άρα
οπότε , συνεπώς αφού , πρέπει , λύση που είναι δεκτή.
Επίσης, αν πρέπει αναγκαστικά αφού , συνεπώς και .
Οπότε, αν , είναι , άρα , που δίνει
άτοπο.
Συνοψίζοντας, μόνη λύση η .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2022
(α) Το είναι το μέσον της και , οπότε το είναι το μέσον της . Αφού το είναι το περίκεντρο του , είναι , συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο με κέντρο το μέσον της , ήτοι το σημείο .Demetres έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 19, 2022 11:03 pmΠρόβλημα 3. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και έστω και τα μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. Έστω το περίκεντρο του τριγώνου και το ίχνος της κάθετης από το σημείο πάνω στην ευθεία . Από το μέσο της φέρουμε παράλληλη προς την , η οποία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
(α) το τρίγωνο είναι ισοσκελές
(β) το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο
Έπεται λοιπόν ότι , άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
(β) Η ομοιοθεσία κέντρου και ακτίνας που στέλνει το τρίγωνο στο τρίγωνο στέλνει το περίκεντρο του τριγώνου , το σημείο , στο περίκεντρο του τριγώνου , το σημείο .
Οπότε, είναι
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2022
Αρχίζουμε με τον εξής Ισχυρισμό:
Ισχυρισμός: Αν , τότε . Επίσης αν , τότε .
Απόδειξη: Άμεσο από την δοσμένη υπόθεση
Επομένως, χωρίζοντας τους αριθμούς του συνόλου σε δέκα ομάδες ως εξής
Ομάδα 1: ,
Ομάδα 2: ,
Ομάδα 3: ,
Ομάδα 7: ,
Ομάδα 8: ,
Ομάδα 9: και
Ομάδα 10: ,
παρατηρούμε ότι το μπορεί να περιέχει το πολύ ένα στοιχείο κάθε , με , και το πολύ ένα στοιχείο κάθε , με . Συνεπώς, συνολικά έχουμε
.
Ένα παράδειγμα με είναι το . Για να ελέγξουμε ότι όντως το σύνολο αυτό ικανοποιεί, παρατηρούμε ότι αν με , είναι
άρα αρκεί να ελέγξουμε την συνθήκη για κάθε δύο διαδοχικά (όταν γραφούν σε αύξουσα σειρά) στοιχεία. Από τον Ισχυρισμό αυτό είναι άμεσο.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2022
Και εγώ όταν δοκίμασα την 3 πριν τον διαγωνισμό έτσι το έλυσα. Ας δούμε όμως και κάποια λύση «καταλληλότερη» για Juniors.
-
- Δημοσιεύσεις: 92
- Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
- Τοποθεσία: Λάρισα
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2022
Εναλλακτικά για το (β):Demetres έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 19, 2022 11:03 pm
Πρόβλημα 3. Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και έστω και τα μέσα των πλευρών του και αντίστοιχα. Έστω το περίκεντρο του τριγώνου και το ίχνος της κάθετης από το σημείο πάνω στην ευθεία . Από το μέσο της φέρουμε παράλληλη προς την , η οποία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
(α) το τρίγωνο είναι ισοσκελές
(β) το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο
, με λόγο ομοιότητας προφανώς . Το ζητούμενο έπεται.
Γιώργος Κοτσάλης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2022
Προφανώς το είναι ακέραιος.
Τώρα διακρίνουμε τις έξι περιπτώσεις
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2022
Θανάσης Κοντογεώργης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2022
Την άσκηση την κατασκεύασα εγώ. Ήμουν σίγουρος ότι δεν θα ήταν πρωτότυπη αλλά το ότι είχα λύσει εδώ μια παρόμοια πριν 9 χρόνια δεν το θυμόμουν καθόλου. Το σκεπτικό ήταν να λυθεί όπως την έκανε ο Ορέστης εδώ παρά όπως την είχα λύσει τότε εγώ.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες