Τεστ Εξάσκησης (41), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Έστω $\alpha, \beta$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\left ( \alpha + 2 \right ) \left ( \beta + 2 \right ) = 8$ . Να απλοποιήσετε την παράσταση

$\displaystyle{\Pi = \alpha \beta + 2 \sqrt{\alpha^2 +\beta^2 + 8 - \sqrt{2 \left ( \alpha^2+4 \right ) \left ( \beta^2+4 \right )}}}$
ΘΕΜΑ 2
Ο Βασίλης έγραψε στη σειρά τους αριθμούς 1, 2, . . . , 10

με όλους τους δυνατούς τρόπους. Σε καθέναν από αυτούς τους τρόπους κύκλωσε τους αριθμούς που ήταν ίσοι με τον αύξοντα αριθμό της θέσης τους και υπολόγισε το άθροισμά τους (αν δεν υπήρχε κανένας τέτοιος αριθμός θεώρησε ότι το άθροισμα ήταν 0).
Για παράδειγμα, για τη μετάθεση 1, 3, 5, 4, 6, 7, 8, 9, 10,2

κύκλωσε τους αριθμούς

και

, και υπολόγισε το άθροισμά τους, που είναι ίσο με 5. Ποιος είναι ο μέσος όρος αυτών των αριθμών;

ΘΕΜΑ 3
Έστω

θετικός ακέραιος. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x,y

, ώστε
$\sqrt{n}+\sqrt{n+1}< \sqrt{x}+\sqrt{y}<\sqrt{4n+2}$ .

ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τετράπλευρο ABCD

τέτοιο ώστε $\angle DAB + \angle ABC = 120^{\circ}$ . Κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα $ACE, \ BDF, \ CDG,$ με τα σημεία E,F,G

να βρίσκονται στο ημιεπίπεδο που ορίζουν οι AC,BD,CD

αντίστοιχα, που δεν ανήκει η AB.

Να αποδείξετε ότι τα σημεία E,F,G

είναι συνευθειακά.

#2

socrates έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 31, 2021 8:10 pm
ΘΕΜΑ 1
Έστω $\alpha, \beta$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\left ( \alpha + 2 \right ) \left ( \beta + 2 \right ) = 8$ . Να απλοποιήσετε την παράσταση

$\displaystyle{\Pi = \alpha \beta + 2 \sqrt{\alpha^2 +\beta^2 + 8 - \sqrt{2 \left ( \alpha^2+4 \right ) \left ( \beta^2+4 \right )}}}$

Από την υπόθεση $\boxed{2a + 2b + ab = 4}$ (1)

Είναι ακόμα $\displaystyle ({a^2} + 4)({b^2} + 4) = {(2a + 2b)^2} + {(4 - ab)^2}\mathop = \limits^{(1)} 2{(4 - ab)^2}$

Άρα, $\displaystyle \Pi = ab + 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 8 - \sqrt {4{{(4 - ab)}^2}} } = ab + 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 8 - 8 + 2ab} = ab + 2\sqrt {{{(a + b)}^2}}$

$\displaystyle \Pi = ab + 2(a + b)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{\Pi=4}$

#3

socrates έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 31, 2021 8:10 pm
...
Θεωρούμε τετράπλευρο τέτοιο ώστε $\angle DAB + \angle ABC = 120^{\circ}$ . Κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα $ACE, \ BDF, \ CDG,$ με τα σημεία να βρίσκονται στο ημιεπίπεδο που ορίζουν οι αντίστοιχα, που δεν ανήκει η Να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

Καλή Χρονιά!

Καλό! αλλά δεν μας "παίρνει" η ηλικία

#4

socrates έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 31, 2021 8:10 pm
ΘΕΜΑ 1
Έστω $\alpha, \beta$ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\left ( \alpha + 2 \right ) \left ( \beta + 2 \right ) = 8$ . Να απλοποιήσετε την παράσταση

$\displaystyle{\Pi = \alpha \beta + 2 \sqrt{\alpha^2 +\beta^2 + 8 - \sqrt{2 \left ( \alpha^2+4 \right ) \left ( \beta^2+4 \right )}}}$

Δείτε και
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 77&t=69730

#5

socrates έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 31, 2021 8:10 pm
ΘΕΜΑ 2
Ο Βασίλης έγραψε στη σειρά τους αριθμούς με όλους τους δυνατούς τρόπους. Σε καθέναν από αυτούς τους τρόπους κύκλωσε τους αριθμούς που ήταν ίσοι με τον αύξοντα αριθμό της θέσης τους και υπολόγισε το άθροισμά τους (αν δεν υπήρχε κανένας τέτοιος αριθμός θεώρησε ότι το άθροισμα ήταν 0).
Για παράδειγμα, για τη μετάθεση κύκλωσε τους αριθμούς και , και υπολόγισε το άθροισμά τους, που είναι ίσο με 5. Ποιος είναι ο μέσος όρος αυτών των αριθμών;

Από τους 10! τρόπους το 1 είναι κυκλωμένο στους 9!. Το ίδιο ισχύει και για κάθε άλλο αριθμό. Άρα το άθροισμα όλων των κυκλωμένων αριθμών είναι $9! \cdot 55$ .

Ο μέσος όρος των αθροισμάτων είναι 55/10 = 5.5

.

#6

socrates έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 31, 2021 8:10 pm
ΘΕΜΑ 4
Θεωρούμε τετράπλευρο τέτοιο ώστε $\angle DAB + \angle ABC = 120^{\circ}$ . Κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα $ACE, \ BDF, \ CDG,$ με τα σημεία να βρίσκονται στο ημιεπίπεδο που ορίζουν οι αντίστοιχα, που δεν ανήκει η Να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

Επαναφορά! Γιατί να μένει άλυτο;

#7

socrates έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 31, 2021 8:10 pm
ΘΕΜΑ 3
Έστω θετικός ακέραιος. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι , ώστε
$\sqrt{n}+\sqrt{n+1}< \sqrt{x}+\sqrt{y}<\sqrt{4n+2}$ .

https://artofproblemsolving.com/communi ... 3p15564517

Henri van Aubel · #8

ΘΕΜΑ 4

Είναι $\angle ACD= 60^\circ-\angle DCE=\angle GCE$ και $\displaystyle \frac{AC}{CD}=\frac{CE}{CG}$ . Οπότε $\vartriangle ACD\sim \vartriangle CGE\Rightarrow \angle CGE=\angle ADC:(1)$

Επιπλέον $\angle BDC=60^\circ-\angle FDC=\angle FDG$ και $\displaystyle \frac{BD}{CD}=\frac{DF}{DG}$ . Οπότε $\vartriangle BDC\sim \vartriangle FGD\Rightarrow \angle FGD=\angle BCD:(2)$

Η (1)

γίνεται $\angle DGE=\angle ADC-60^\circ ,$ αυτή με τη βοήθεια της $\left ( 2 \right )$ γίνεται $\angle DGE+\angle FGD=\angle ADC-60^\circ+\angle BCD=180^\circ.$

Οπότε E,F,G

συνευθειακά

Αξίζει να σημειωθεί ότι στα (1),(2) ισχύουν οι ισότητες τριγώνων, αλλά αρκούν οι ομοιότητες για να δείξω την ισογωνιότητα!

Τεστ Εξάσκησης (41), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (41), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (41), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (41), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (41), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (41), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (41), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (41), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (41), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση