ΙΜΟ 2021
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Re: ΙΜΟ 2021
Θα ήθελα να κάνω μερικές παρατηρήσεις - παραινέσεις διαβάζοντας και τα μηνύματα παραπάνω
1) Για το ερώτημα αν πρέπει να συμμετέχουμε σε διαγωνισμούς η απάντηση είναι βεβαίως. Ο καθένας έχει την οπτική πάνω σε αυτό εγώ προσωπικά θεωρώ ότι η ανίχνευση ταλέντων είναι σημαντική γιατί τα ταλέντα δημιουργούν κεφάλαιο πνευματικό το οποίο μετατρέπεται και σε οικονομικό για την χώρα. Δείτε τους χιλιάδες νέους που έχουν φύγει και μεγαλουργούν στο εξωτερικό.
2) Για το θέμα των υποδομών θεωρώ ότι η δημιουργία ειδικών σχολείων η Ακαδημιών που θα έχουν curriculum τέτοιο που θα στηρίζει τέτοια ταλέντα είναι απαραίτητη.Φυσικά, και η επιλογή διδασκόντων σε αυτά θα γίνεται μετά από αξιοκρατική αξιολόγηση.
3)Η διδασκαλία των Μαθηματικών στο Δημοτικό πρέπει να γίνεται από Μαθηματικούς.
4) Ίσως θα πρέπει να ενθαρρυνθεί η συμμέτοχη των γυναικών στα Μαθηματικά . Δεν μπορεί σε μια χώρα οπού οι γυναίκες είναι η πλειοψηφία να μην υπάρχει ούτε μια στην ΙΜΟ.
5)Οι συμμετέχοντες σε διεθνείς διαγωνισμούς θα μπορούσαν να απαλλάσσονται από τις Πανελλήνιες και να εισάγονται στη σχολή που επιθυμούν άνευ εξετάσεων.
6) H προπόνηση μαζί με τις ομάδες άλλων χωρών θα βοηθούσε στην ανταλλαγή εμπειριών και στρατηγικών.
7) H δημιουργία σειράς βιβλίων η ακόμα και φυλλαδίων που θα βοηθούν το problem solving απο το Γυμνάσιο μέχρι το Λύκειο και θα διατίθενται δωρεάν στο διαδίκτυο.
8)Η οικονομική κατάσταση αρκετών μαθητών μπορεί να τους αποθαρρύνει από συμμέτοχες σε διαγωνισμούς για αυτό η θέσπιση κίνητρων όπως υποτροφίες η και χρηματικά έπαθλα για την κατάκτηση μεταλλίων ίσως είναι απαραίτητη. Δεν μπορεί να δίνουμε 5000 ευρώ την Βδομάδα στον παίκτη ενός τηλεοπτικού παιχνιδιού σαν κοινωνία και να μην προσφέρουμε ανάλογα κίνητρα σε μαθητές.
Τέλος, για να εμπνέουμε τον σεβασμό πρέπει και εμείς να είμαστε τίμιοι, αξιοκρατικοί και διαφανείς.
1) Για το ερώτημα αν πρέπει να συμμετέχουμε σε διαγωνισμούς η απάντηση είναι βεβαίως. Ο καθένας έχει την οπτική πάνω σε αυτό εγώ προσωπικά θεωρώ ότι η ανίχνευση ταλέντων είναι σημαντική γιατί τα ταλέντα δημιουργούν κεφάλαιο πνευματικό το οποίο μετατρέπεται και σε οικονομικό για την χώρα. Δείτε τους χιλιάδες νέους που έχουν φύγει και μεγαλουργούν στο εξωτερικό.
2) Για το θέμα των υποδομών θεωρώ ότι η δημιουργία ειδικών σχολείων η Ακαδημιών που θα έχουν curriculum τέτοιο που θα στηρίζει τέτοια ταλέντα είναι απαραίτητη.Φυσικά, και η επιλογή διδασκόντων σε αυτά θα γίνεται μετά από αξιοκρατική αξιολόγηση.
3)Η διδασκαλία των Μαθηματικών στο Δημοτικό πρέπει να γίνεται από Μαθηματικούς.
4) Ίσως θα πρέπει να ενθαρρυνθεί η συμμέτοχη των γυναικών στα Μαθηματικά . Δεν μπορεί σε μια χώρα οπού οι γυναίκες είναι η πλειοψηφία να μην υπάρχει ούτε μια στην ΙΜΟ.
5)Οι συμμετέχοντες σε διεθνείς διαγωνισμούς θα μπορούσαν να απαλλάσσονται από τις Πανελλήνιες και να εισάγονται στη σχολή που επιθυμούν άνευ εξετάσεων.
6) H προπόνηση μαζί με τις ομάδες άλλων χωρών θα βοηθούσε στην ανταλλαγή εμπειριών και στρατηγικών.
7) H δημιουργία σειράς βιβλίων η ακόμα και φυλλαδίων που θα βοηθούν το problem solving απο το Γυμνάσιο μέχρι το Λύκειο και θα διατίθενται δωρεάν στο διαδίκτυο.
8)Η οικονομική κατάσταση αρκετών μαθητών μπορεί να τους αποθαρρύνει από συμμέτοχες σε διαγωνισμούς για αυτό η θέσπιση κίνητρων όπως υποτροφίες η και χρηματικά έπαθλα για την κατάκτηση μεταλλίων ίσως είναι απαραίτητη. Δεν μπορεί να δίνουμε 5000 ευρώ την Βδομάδα στον παίκτη ενός τηλεοπτικού παιχνιδιού σαν κοινωνία και να μην προσφέρουμε ανάλογα κίνητρα σε μαθητές.
Τέλος, για να εμπνέουμε τον σεβασμό πρέπει και εμείς να είμαστε τίμιοι, αξιοκρατικοί και διαφανείς.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: ΙΜΟ 2021
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 21, 2021 11:14 amΠρόβλημα 3. Έστω ένα εσωτερικό σημείο του οξυγώνιου τριγώνου με έτσι ώστε. Το σημείο του τμήματος ικανοποιεί την ισότητα , το σημείο του τμήματος ικανοποιεί την ισότητα και το σημείο της ευθείας ικανοποιεί την ισότητα . Έστω και τα περίκεντρα των τριγώνων και , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες , και περνούν από το ίδιο σημείο.
Καταπληκτικό πρόβλημα!
Ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες και τέμνονται στο και οι κύκλοι και τέμνονται για δεύτερη φορά στο . Θα αποδείξουμε ότι τα σημεία , και είναι συνευθειακά, δηλαδή ότι το ισαπέχει από τα και.
Θα ξεκινήσω με τη απόδειξη δύο βασικών ισχυρισμών:
Ισχυρισμός 1 Τα σημεία ,, και είναι ομοκυκλικά
Έστω το ισογώνιο συζυγές σημείο του ως προς το .
Ισχύει:
Συνεπώς
Έτσι:
Άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Παρόμοια:
άρα
Επομένως:
Έτσι το τετράπλευρο είναι επίσης εγγράψιμο.
Παίρνοντας δύναμη του σημείου ως προς τον έχουμε:
Αντίστοιχα, παίρνοντας δύναμη του ως προς τον λαμβάνουμε:
Συνεπώς, ισχύει:
άρα τα σημεία ,, και είναι ομοκυκλικά .
Σημείωση: Για τον ορισμό του μπορείτε να δείτε εδώ: http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/gGal ... ation.html.
Ισχυρισμός 2 Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και εφάπτονται εξωτερικά στο .
Ισχύει
Εφόσον όμως και έχουμε:
Επειδή λαμβάνουμε ότι:
.
Αν η τέμνει την στο , ισχύει και
δηλαδή τα τρίγωνα και είναι όμοια άρα
Έτσι
Επομένως , άρα οι κύκλοι και εφάπτονται.
Από τον ισχυρισμό 1 το έχει ίσες δυνάμεις ως τους και εφόσον
άρα ανήκει στον ριζικό τους άξονα.
Συνεπώς η είναι η κοινή τους εσωτερική εφαπτομένη, δηλαδή ισχύει:
Μένει, λοιπόν, ν.δ.ο και .
Θα επανέλθω με τη συνέχεια της απόδειξης.
Ματθαίος Κουκλέρης
Re: ΙΜΟ 2021
Συνεχίζουμε με την απόδειξη 2 ακόμη ισχυρισμών.
Έστω . Το είναι το σημείο του πλήρους τετραπλεύρου , έτσι εφόσον το τετράπλευρο είναι εγράψιμο, εύκολα προκύπτει ότι τα σημεία , και είναι συνευθειακά, άρα ισχύει .
Ισχυρισμός 3 Τα σημεία , , και είναι ομοκυκλικά.
Ισχύει
Άρα από το ισοσκελές λαμβάνουμε:
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχουμε:
Άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Ισχυρισμός 4 Οι κύκλοι , και είναι ομοαξονικοί.
Έστω
Από τον ισχυρισμό 3 ισχύει
Όμως άρα .
Συνεπώς, το έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους και , δηλαδή ανήκει στον ριζικό τους άξονα .
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο παίρνουμε:
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχουμε:
Έτσι , άρα ο κύκλος διέρχεται από το .
Έστω . Το είναι το σημείο του πλήρους τετραπλεύρου , έτσι εφόσον το τετράπλευρο είναι εγράψιμο, εύκολα προκύπτει ότι τα σημεία , και είναι συνευθειακά, άρα ισχύει .
Ισχυρισμός 3 Τα σημεία , , και είναι ομοκυκλικά.
Ισχύει
Άρα από το ισοσκελές λαμβάνουμε:
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχουμε:
Άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Ισχυρισμός 4 Οι κύκλοι , και είναι ομοαξονικοί.
Έστω
Από τον ισχυρισμό 3 ισχύει
Όμως άρα .
Συνεπώς, το έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους και , δηλαδή ανήκει στον ριζικό τους άξονα .
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο παίρνουμε:
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχουμε:
Έτσι , άρα ο κύκλος διέρχεται από το .
Ματθαίος Κουκλέρης
Re: ΙΜΟ 2021
Επανέρχομαι με την ολοκλήρωση της απόδειξης.
Ισχυρισμός 4 Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και εφάπτονται εσωτερικά στο .
Εφόσον δείξαμε ότι ισχύει , οι κύκλοι και
εφάπτονται στο άρα
Επίσης, ισχύει:
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο λαμβάνουμε:
Επομένως:
Ας υποθέσουμε ότι ισχύει
που ισχύει.
Συνεπώς:
Από το τρίγωνο παίρνουμε:
Άρα:
Έτσι, οι κύκλοι και εφάπτονται.
Ισχυρισμός 6 Το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του .
Δεδομένου ότι τα σημεία ,, και είναι ομοκυκλικά ισχύει:
, άρα το P έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους και , δηλαδή ανήκει στον ριζικό τους άξονα που θα είναι η κοινή τους εφαπτομένη.
Συνεπώς .
Το ζητούμενο έπεται.
Ισχυρισμός 4 Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων και εφάπτονται εσωτερικά στο .
Εφόσον δείξαμε ότι ισχύει , οι κύκλοι και
εφάπτονται στο άρα
Επίσης, ισχύει:
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο λαμβάνουμε:
Επομένως:
Ας υποθέσουμε ότι ισχύει
που ισχύει.
Συνεπώς:
Από το τρίγωνο παίρνουμε:
Άρα:
Έτσι, οι κύκλοι και εφάπτονται.
Ισχυρισμός 6 Το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του .
Δεδομένου ότι τα σημεία ,, και είναι ομοκυκλικά ισχύει:
, άρα το P έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους και , δηλαδή ανήκει στον ριζικό τους άξονα που θα είναι η κοινή τους εφαπτομένη.
Συνεπώς .
Το ζητούμενο έπεται.
Ματθαίος Κουκλέρης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες