ΙΜΟ 2021

mick7 · #21

Θα ήθελα να κάνω μερικές παρατηρήσεις - παραινέσεις διαβάζοντας και τα μηνύματα παραπάνω

1) Για το ερώτημα αν πρέπει να συμμετέχουμε σε διαγωνισμούς η απάντηση είναι βεβαίως. Ο καθένας έχει την οπτική πάνω σε αυτό εγώ προσωπικά θεωρώ ότι η ανίχνευση ταλέντων είναι σημαντική γιατί τα ταλέντα δημιουργούν κεφάλαιο πνευματικό το οποίο μετατρέπεται και σε οικονομικό για την χώρα. Δείτε τους χιλιάδες νέους που έχουν φύγει και μεγαλουργούν στο εξωτερικό.

2) Για το θέμα των υποδομών θεωρώ ότι η δημιουργία ειδικών σχολείων η Ακαδημιών που θα έχουν curriculum τέτοιο που θα στηρίζει τέτοια ταλέντα είναι απαραίτητη.Φυσικά, και η επιλογή διδασκόντων σε αυτά θα γίνεται μετά από αξιοκρατική αξιολόγηση.

3)Η διδασκαλία των Μαθηματικών στο Δημοτικό πρέπει να γίνεται από Μαθηματικούς.

4) Ίσως θα πρέπει να ενθαρρυνθεί η συμμέτοχη των γυναικών στα Μαθηματικά . Δεν μπορεί σε μια χώρα οπού οι γυναίκες είναι η πλειοψηφία να μην υπάρχει ούτε μια στην ΙΜΟ.

5)Οι συμμετέχοντες σε διεθνείς διαγωνισμούς θα μπορούσαν να απαλλάσσονται από τις Πανελλήνιες και να εισάγονται στη σχολή που επιθυμούν άνευ εξετάσεων.

6) H προπόνηση μαζί με τις ομάδες άλλων χωρών θα βοηθούσε στην ανταλλαγή εμπειριών και στρατηγικών.

7) H δημιουργία σειράς βιβλίων η ακόμα και φυλλαδίων που θα βοηθούν το problem solving απο το Γυμνάσιο μέχρι το Λύκειο και θα διατίθενται δωρεάν στο διαδίκτυο.

8)Η οικονομική κατάσταση αρκετών μαθητών μπορεί να τους αποθαρρύνει από συμμέτοχες σε διαγωνισμούς για αυτό η θέσπιση κίνητρων όπως υποτροφίες η και χρηματικά έπαθλα για την κατάκτηση μεταλλίων ίσως είναι απαραίτητη. Δεν μπορεί να δίνουμε 5000 ευρώ την Βδομάδα στον παίκτη ενός τηλεοπτικού παιχνιδιού σαν κοινωνία και να μην προσφέρουμε ανάλογα κίνητρα σε μαθητές.

Τέλος, για να εμπνέουμε τον σεβασμό πρέπει και εμείς να είμαστε τίμιοι, αξιοκρατικοί και διαφανείς.

MAnTH05 · #22

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 21, 2021 11:14 am
Πρόβλημα 3. Έστω ένα εσωτερικό σημείο του οξυγώνιου τριγώνου με έτσι ώστε $\angle DAB=\angle CAD$ . Το σημείο του τμήματος ικανοποιεί την ισότητα $\angle ADE=\angle BCD$ , το σημείο του τμήματος ικανοποιεί την ισότητα $\angle FDA=\angle DBC$ και το σημείο της ευθείας ικανοποιεί την ισότητα . Έστω $O_{1}$ και $O_{2}$ τα περίκεντρα των τριγώνων και , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες , και $O_{1}O_{2}$ περνούν από το ίδιο σημείο.

Καταπληκτικό πρόβλημα!

Ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες

και

τέμνονται στο

και οι κύκλοι (ADC)

και

τέμνονται για δεύτερη φορά στο

. Θα αποδείξουμε ότι τα σημεία $O_{1}$ , $O_{2}$ και

είναι συνευθειακά, δηλαδή ότι το

ισαπέχει από τα

και

.

Θα ξεκινήσω με τη απόδειξη δύο βασικών ισχυρισμών:

Ισχυρισμός 1 Τα σημεία

,

και

είναι ομοκυκλικά

Έστω

το ισογώνιο συζυγές σημείο του

ως προς το ABC

.
Ισχύει: $\angle ADE = \angle BCD$
$\angle ACD' = \angle BCD$

Συνεπώς $\angle ADE = \angle ACD' = \angle ECD'$
Έτσι: $\angle D'DE + \angle ECD' = 180^{\circ}$
Άρα το τετράπλευρο D'DEC

είναι εγγράψιμο.

Παρόμοια:
$\angle FDA = \angle DBC$
$\angle D'BA = \angle DBC$
άρα $\angle FDA = \angle D'BA = \angle D'BF$
Επομένως: $\angle D'BF + \angle FDA = 180^{\circ}$
Έτσι το τετράπλευρο D'DFB

είναι επίσης εγγράψιμο.

Παίρνοντας δύναμη του σημείου

ως προς τον (D'DEC)

έχουμε:
$AE \cdot AC = AD \cdot AD'$

Αντίστοιχα, παίρνοντας δύναμη του

ως προς τον (D'DFB)

λαμβάνουμε:
$AF \cdot AB = AD \cdot AD'$

Συνεπώς, ισχύει: $AF \cdot AB = AE \cdot AC$
άρα τα σημεία

,

και

είναι ομοκυκλικά . $\blacksquare$

Σημείωση: Για τον ορισμό του

μπορείτε να δείτε εδώ: http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/gGal ... ation.html.

: IMO 2021 Π3 - Ισχυρισμός 1.png (79.38 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Ισχυρισμός 2 Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων BDC

και

εφάπτονται εξωτερικά στο

.

Ισχύει $\angle DBC + \angle BCD \angle BDC = 180^{\circ}$
Εφόσον όμως $\angle ADE = \angle BCD$ και $\angle FDA = \angle DBC$ έχουμε:
$\angle FDA + \angle BDC = 180^{\circ}$
Επειδή $\angle FDB + \angle BDC + \angle CDE + \angle FDE = 360^{\circ}$ λαμβάνουμε ότι:
$\angle FDB + \angle CDE = 180^{\circ}$ .

Αν η

τέμνει την

στο

, ισχύει $\angle D'BF = \angle FDR$ και $\angle BFD' = \angle DFR$
δηλαδή τα τρίγωνα FD'B

και

είναι όμοια άρα $\angle FD'B = \angle FDB = \angle FRD$

Έτσι $\angle CDE = \angle DRE = \angle DFR + \angle FDR$
Επομένως $\angle CDE = \angle DFE + \angle DBC$ , άρα οι κύκλοι (BDC)

και

εφάπτονται. $\blacksquare$

Από τον ισχυρισμό 1 το

έχει ίσες δυνάμεις ως τους (BDC)

και

εφόσον $PE \cdot PF = PC \cdot PB$
άρα ανήκει στον ριζικό τους άξονα.
Συνεπώς η

είναι η κοινή τους εσωτερική εφαπτομένη, δηλαδή ισχύει:
$PD^{2} = PE \cdot PF = PC \cdot PB$

Μένει, λοιπόν, ν.δ.ο και $PQ^{2} = PE \cdot PF = PC \cdot PB$ .

: IMO 2021 Π3 - Ισχυρισμός 2.png (73.56 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Θα επανέλθω με τη συνέχεια της απόδειξης.

MAnTH05 · #23

Συνεχίζουμε με την απόδειξη 2 ακόμη ισχυρισμών.

Έστω $M \equiv (ABC)\cap(AFE)$ . Το

είναι το σημείο Miquel

του πλήρους τετραπλεύρου BFECAP

, έτσι εφόσον το τετράπλευρο BFEC

είναι εγράψιμο, εύκολα προκύπτει ότι τα σημεία

,

και

είναι συνευθειακά, άρα ισχύει $PD^{2} = PC\cdot PB = PM \cdot PA$ .

Ισχυρισμός 3 Τα σημεία

,

και

είναι ομοκυκλικά.

Ισχύει $\angle ECB = \angle EFA = \angle ACB = \angle AMB = \angle XCB = \angle XBC = \theta$
Άρα από το ισοσκελές XBC

λαμβάνουμε:
$\angle BXC = 180^{\circ} - 2\theta$

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο AMEF

έχουμε:
$\angle BME = \angle AME - \angle AMB = 180^{\circ} - \theta - \theta = 180^{\circ} - 2\theta$

Άρα το τετράπλευρο BEMX

είναι εγγράψιμο. $\blacksquare$

: IMO 2021 Π3 - Ισχυρισμός 3.png (114.55 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές

Ισχυρισμός 4 Οι κύκλοι (ADC)

,

και

είναι ομοαξονικοί.

Έστω $T \equiv BM \cap XM$
Από τον ισχυρισμό 3 ισχύει $BT \cdot TM = XT \cdot TE$
Όμως $BT \cdot TM = AT \cdot TC$ άρα $AT \cdot TC = XT \cdot TE$ .

Συνεπώς, το

έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους (ADC)

και

, δηλαδή ανήκει στον ριζικό τους άξονα

.

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο AMCB

παίρνουμε:
$AT \cdot TC = MT \cdot TB$
Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο DAQC

έχουμε:
$DT \cdot TQ = AT \cdot TC$

Έτσι $DT \cdot TQ = MT \cdot TB$ , άρα ο κύκλος (BDM)

διέρχεται από το

. $\blacksquare$

: IMO 2021 Π3 - Ισχυρισμός 4.png (138.75 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές

MAnTH05 · #24

Επανέρχομαι με την ολοκλήρωση της απόδειξης.

Ισχυρισμός 4 Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων QBC

και

εφάπτονται εσωτερικά στο

.

Εφόσον δείξαμε ότι ισχύει $PC \cdot PB = PM\cdot PA = PD^{2}$ , οι κύκλοι (BDC)

και

εφάπτονται στο

άρα $\angle ADB = \angle AMD + \angle DCB$

Επίσης, ισχύει: $\angle MDB = \angle ADB + \angle MDA$

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο QMDB

λαμβάνουμε:
$180^{\circ} - \angle BQM = \angle MDB$

Επομένως:
$180^{\circ} - \angle BQM = \angle AMD + \angle DCB + \angle MDA \Leftrightarrow 180^{\circ} - \angle BQM = 180^{\circ} - \angle DAM + \angle DCB \Leftrightarrow \angle BQM = \angle DAM - \angle DCB$

Ας υποθέσουμε ότι ισχύει
$\angle BQM = 180^{\circ} - (\angle MAQ + \angle QCB)\Leftrightarrow \angle BQM = 180^{\circ} - (\angle MAQ + \angle QCD + \angle DCB)\Leftrightarrow \angle BQM = 180^{\circ} - \angle MAQ - \angle QCD - \angle DCB \overset{A, Q, C,D o \mu o \kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha}{\rightarrow} \angle BQM = \angle DAQ - \angle MAQ - \angle DCB \Leftrightarrow \angle BQM = \angle DAM - \angle DCB$
που ισχύει.

Συνεπώς: $- \angle BQM = \angle MAQ + \angle QCB - 180^{\circ} \Leftrightarrow \angle BQC - \angle BQM = \angle BQC + \angle MAQ + \angle QCB - 180^{\circ}$

Από το τρίγωνο QBC

παίρνουμε: $\angle BQC + \angle QCB +\angle CBQ = 180^{\circ} \Leftrightarrow \angle BQC + \angle QCB - 180^{\circ} = - \angle CBQ$

Άρα: $\angle MQC = \angle MAQ - \angle CBQ$

Έτσι, οι κύκλοι (QBC)

και

εφάπτονται.

: IMO 2021 Π3 - Ισχυρισμός 5.png (121.58 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Ισχυρισμός 6 Το σημείο

ανήκει στη μεσοκάθετο του

.

Δεδομένου ότι τα σημεία

,

και

είναι ομοκυκλικά ισχύει:
$PC\cdot PB = PM\cdot PA$ , άρα το P έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους (QBC)

και

, δηλαδή ανήκει στον ριζικό τους άξονα που θα είναι η κοινή τους εφαπτομένη.

Συνεπώς $PQ^{2} = PC\cdot PB = PM\cdot PA = PD^{2}$ .

: IMO 2021 Π3 - Ισχυρισμός 6.png (99.71 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Το ζητούμενο έπεται. $\square$

ΙΜΟ 2021

Re: ΙΜΟ 2021

Re: ΙΜΟ 2021

Re: ΙΜΟ 2021

Re: ΙΜΟ 2021

Μέλη σε σύνδεση