Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2021 (10η τάξη)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2021 (10η τάξη)
LXXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
28 Μαρτίου 2021 10η τάξη
Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένος ένας φυσικός αριθμός. Αν σβήσουμε το τελευταίο ψηφίο του (θέση μονάδων), τότε προκύπτει μη μηδενικός αριθμός, ο οποίος διαιρείται με το και αν σβήσουμε το πρώτο ψηφίο, τότε με το . Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός που μπορεί να είναι γραμμένος στον πίνακα, αν το δεύτερο ψηφίο του δεν είναι μηδέν; (Μ.Α.Ευδοκίμοβ)
Πρόβλημα 2. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο, το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών του οποίου ισούται με την μεγάλη βάση του. Να αποδείξετε, ότι η οξεία γωνία μεταξύ των διαγώνιών του δεν υπερβαίνει τις . (Α.Ντ. Μπλίνκοβ)
Πρόβλημα 3. Δίνεται μια άπειρη προς την μία πλευρά τετραγωνισμένη λωρίδα, τα κελιά της οποίας είναι αριθμημένα με τους θετικούς ακέραιους και ένας σάκος με δέκα βότσαλα. Στα κελιά της λωρίδας αρχικά δεν υπάρχουν βότσαλα. Μπορούμε να πράξουμε τα ακόλουθα:
- Να μετακινήσουμε ένα βότσαλο από τον σάκο στο πρώτο κελί της λωρίδας ή το αντίστροφο.
- Αν στο κελί με αριθμό βρίσκεται βότσαλο, τότε επιτρέπεται να μετακινήσουμε ένα βότσαλο από το σάκο στο κελί με αριθμό ή το αντίστροφο.
Μπορούμε άραγε δρώντας με αυτό τον τρόπο, να τοποθετήσουμε βότσαλο στο κελί με αριθμό ; (Α.Σεν)
Πρόβλημα 4. Στο εσωτερικό του τετράπλευρου δίνεται σημείο . Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο . Προέκυψε, ότι η ευθεία είναι εξωτερική διχοτόμος των γωνιών και . Έστω και οι διχοτόμοι των τριγώνων και . Να αποδείξετε, ότι τα σημεία , και είναι συνευθειακά. (Φ.Κ. Νίλοβ)
Πρόβλημα 5. Έστω και πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί. Ένα βατράχι κάνει άλματα στην ευθεία των αριθμών, ξεκινώντας από το σημείο , κάθε φορά είτε δεξιά κατά , είτε αριστερά κατά . Κάποια στιγμή το βατράχι γύρισε στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό θα βρεθούν δυο αριθμοί, που τα έχει επισκεφτεί το βατράχι και διαφέρουν κατά . (Ν. Μπελούχοβ)
Πρόβλημα 6. Άνω ακέραιο μέρος ενός αριθμού ονομάζεται ο μικρότερος ακέραιος αριθμός, μεγαλύτερος ή ίσος του . Να αποδείξετε, ότι υπάρχει τέτοιος αριθμός , ώστε για οποιοδήποτε μη μηδενικό φυσικό αριθμό η απόσταση από το άνω ακέραιο μέρος του μέχρι το πλησιέστερο τετράγωνο μη μηδενικού φυσικού αριθμού πάντα να είναι ίση με . (Ντ. Μ. Κρέκοβ)
Στατιστικά: (917 συμμετοχές)
Πηγή: Επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας
Edit: 11/06/21 Διόρθωση εκφώνησης στο 5ο θέμα.
28 Μαρτίου 2021 10η τάξη
Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένος ένας φυσικός αριθμός. Αν σβήσουμε το τελευταίο ψηφίο του (θέση μονάδων), τότε προκύπτει μη μηδενικός αριθμός, ο οποίος διαιρείται με το και αν σβήσουμε το πρώτο ψηφίο, τότε με το . Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός που μπορεί να είναι γραμμένος στον πίνακα, αν το δεύτερο ψηφίο του δεν είναι μηδέν; (Μ.Α.Ευδοκίμοβ)
Πρόβλημα 2. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο, το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών του οποίου ισούται με την μεγάλη βάση του. Να αποδείξετε, ότι η οξεία γωνία μεταξύ των διαγώνιών του δεν υπερβαίνει τις . (Α.Ντ. Μπλίνκοβ)
Πρόβλημα 3. Δίνεται μια άπειρη προς την μία πλευρά τετραγωνισμένη λωρίδα, τα κελιά της οποίας είναι αριθμημένα με τους θετικούς ακέραιους και ένας σάκος με δέκα βότσαλα. Στα κελιά της λωρίδας αρχικά δεν υπάρχουν βότσαλα. Μπορούμε να πράξουμε τα ακόλουθα:
- Να μετακινήσουμε ένα βότσαλο από τον σάκο στο πρώτο κελί της λωρίδας ή το αντίστροφο.
- Αν στο κελί με αριθμό βρίσκεται βότσαλο, τότε επιτρέπεται να μετακινήσουμε ένα βότσαλο από το σάκο στο κελί με αριθμό ή το αντίστροφο.
Μπορούμε άραγε δρώντας με αυτό τον τρόπο, να τοποθετήσουμε βότσαλο στο κελί με αριθμό ; (Α.Σεν)
Πρόβλημα 4. Στο εσωτερικό του τετράπλευρου δίνεται σημείο . Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο . Προέκυψε, ότι η ευθεία είναι εξωτερική διχοτόμος των γωνιών και . Έστω και οι διχοτόμοι των τριγώνων και . Να αποδείξετε, ότι τα σημεία , και είναι συνευθειακά. (Φ.Κ. Νίλοβ)
Πρόβλημα 5. Έστω και πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί. Ένα βατράχι κάνει άλματα στην ευθεία των αριθμών, ξεκινώντας από το σημείο , κάθε φορά είτε δεξιά κατά , είτε αριστερά κατά . Κάποια στιγμή το βατράχι γύρισε στο σημείο . Να αποδείξετε, ότι για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό θα βρεθούν δυο αριθμοί, που τα έχει επισκεφτεί το βατράχι και διαφέρουν κατά . (Ν. Μπελούχοβ)
Πρόβλημα 6. Άνω ακέραιο μέρος ενός αριθμού ονομάζεται ο μικρότερος ακέραιος αριθμός, μεγαλύτερος ή ίσος του . Να αποδείξετε, ότι υπάρχει τέτοιος αριθμός , ώστε για οποιοδήποτε μη μηδενικό φυσικό αριθμό η απόσταση από το άνω ακέραιο μέρος του μέχρι το πλησιέστερο τετράγωνο μη μηδενικού φυσικού αριθμού πάντα να είναι ίση με . (Ντ. Μ. Κρέκοβ)
Στατιστικά: (917 συμμετοχές)
Πηγή: Επίσημη σελίδα της ολυμπιάδας
Edit: 11/06/21 Διόρθωση εκφώνησης στο 5ο θέμα.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Τετ Ιούλ 07, 2021 11:11 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας (10η τάξη)
Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του ισοσκελούς τραπεζίου και η οξεία γωνία των διαγωνίων του. Είναι:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τρί Ιουν 08, 2021 11:22 pm
Πρόβλημα 2. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο, το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών του οποίου ισούται με την μεγάλη βάση του. Να αποδείξετε ότι η οξεία γωνία μεταξύ των διαγώνιών του δεν υπερβαίνει τις (Α.Ντ. Μπλίνκοβ)
, οπότε και συνεπώς .
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
-
- Δημοσιεύσεις: 30
- Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2021 2:41 pm
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας (10η τάξη)
Πρόβλημα 1
Έστω (προφανώς: ). Από υπόθεση γνωρίζουμε πως: . Η τελευταία δίνει: και . Τώρα, θα ισχύει: . Τώρα, λόγω της τελευταίας, θα είναι: και, επομένως: και, παράλληλα, . Προφανώς, τώρα, , αλλιώς δε θα ήταν εφικτή η διαιρετότητα με το . Παράλληλα, για να ισχύει η διαιρετότητα με το , θα πρέπει ή . Τα τελευταία ψηφία του αριθμού θα πρέπει να είναι πολλαπλάσια μεγαλύτερα του , λόγω της διαιρετότητας με το και πολλαπλάσια του
.
Για θα είναι: . Πρέπει, λοιπόν, . Όμως, το μικρότερο πολλαπλάσιο του 21 μεγαλύτερο από 200 είναι το 210 και του 400 το 420. Εντούτοις, για πολλαπλάσιο του είναι το , οπότε, παίρνουμε και, προκειμένου να είναι ο αριθμός ελάχιστος, επιλέγουμε: .
Συνεπώς,
Έστω (προφανώς: ). Από υπόθεση γνωρίζουμε πως: . Η τελευταία δίνει: και . Τώρα, θα ισχύει: . Τώρα, λόγω της τελευταίας, θα είναι: και, επομένως: και, παράλληλα, . Προφανώς, τώρα, , αλλιώς δε θα ήταν εφικτή η διαιρετότητα με το . Παράλληλα, για να ισχύει η διαιρετότητα με το , θα πρέπει ή . Τα τελευταία ψηφία του αριθμού θα πρέπει να είναι πολλαπλάσια μεγαλύτερα του , λόγω της διαιρετότητας με το και πολλαπλάσια του
.
Για θα είναι: . Πρέπει, λοιπόν, . Όμως, το μικρότερο πολλαπλάσιο του 21 μεγαλύτερο από 200 είναι το 210 και του 400 το 420. Εντούτοις, για πολλαπλάσιο του είναι το , οπότε, παίρνουμε και, προκειμένου να είναι ο αριθμός ελάχιστος, επιλέγουμε: .
Συνεπώς,
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας (10η τάξη)
Έστω οπότε Αρκεί Με Θ. Πτολεμαίου στο τραπέζιο και νόμο συνημιτόνου στο έχω:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Τρί Ιουν 08, 2021 11:22 pm
Πρόβλημα 2. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο, το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών του οποίου ισούται με την μεγάλη βάση του. Να αποδείξετε, ότι η οξεία γωνία μεταξύ των διαγώνιών του δεν υπερβαίνει τις . (Α.Ντ. Μπλίνκοβ)
που ισχύει.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας (10η τάξη)
Απλά να ενημερώσω ότι έκανα διόρθωση στην εκφώνηση του 5ου προβλήματος. Έλειπε η πρόταση " Κάποια στιγμή το βατράχι γύρισε στο σημείο 0". Ζητώ συγνώμη για όσους προσπάθησαν να το λύσουν και ταλαιπωρήθηκαν.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες